Problema 1.2 Scientifico 2013

La funzione f è definita da f(x)=\int_0^x [ cos(\frac t2 + \frac 12) ] dt per tutti i numeri reali x appartenenti
all’intervallo chiuso [0, 9].

  • Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico Σ di f '(x) e da esso si deduca per quale o quali valori di x , f (x) presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l’andamento di f (x) deducendolo da quello di f '(x) .

 

Considerando la funzione

    \[y=cos(\frac 12x) + \frac 12\]

,

ci accorgiamo subito che ci apprestiamo a costruire il grafico della funzione coseno con una dilatazione dovuta al coefficiente della x e una traslazione dovuta al termine noto.

GRAFICO

 

Per definizione sappiamo che i massimi per f(x) li otteniamo quando il segno della derivata diventa negativo e viceversa per i punti di minimo.

Quindi notiamo che, nel grafico appena disegnato, i punti di intersezione di questo stesso grafico con l’asse delle ascisse rappresentano proprio i valori per i quali avremo dei massimi o dei minimi nella funzione iniziale.

Studiamo quindi quando f'(x)=0:

    \[cos(\frac x2)+\frac 12 =0\]

    \[cos(\frac x2)=-\frac 12\]

    \[\frac x2 = arccos (-\frac 12)\]

    \[\frac {x_1}{2}= \frac 23 \pi \quad \lor \quad \frac {x_2}{2}= \frac 43 \pi\]

    \[x_1= \frac 43 \pi \quad \lor \quad x_2= \frac 83 \pi\]

.

Essendo l’intervallo compreso tra 0 e 9, escludiamo subito tutte le soluzioni negative, e non possiamo prenderei in considerazione neanche soluzioni successive a queste perchè maggiori di 9.

Quindi, dal grafico di f'(x), si deduce che la funzione f(x) in [0,9] ammette:

  • massimo in x=\frac 43 \pi
  • minimo in x=\frac 83 \pi.

Si osservi che la funzione iniziale è facilmente calcolabile:

    \[f(x)=\int_0^x [ cos(\frac t2 + \frac 12) ] dt=2sen(\frac x2)+\frac 12x\]

.

GRAFICO

Calcoliamo le coordinate del massimo e del minimo:

  • M(\frac 43 \pi; \sqrt 3 + \frac 23 \pi)
  • m(\frac 83 \pi; \sqrt 3 + \frac 43 \pi).

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