Problema 1.3 P.N.I. 2014

Sia g(x) una funzione continua sull’intervallo chiuso [-4;6]. Il grafico di g(x), disegnato a lato, passa per i punti A(-4;0), O(0;0), B(2;2), C(4;2),D(6;0) e consiste della semicirconferenza di diametro AO, dell’arco, quarto di circonferenza, di estremi O e B, del segmento BC e dell’arco CD di una parabola avente per asse di simmetria l’asse x .

Per quali valori di x \in [-4,6], f(x) è positiva, negativa o nulla? E per quali x è positiva, negativa o nulla la funzione derivata  seconda f''(x)?

graficopni

Risposta dello staff

In base al significato geometrico dell’integrale definito si deduce che la funzione ݂ ha un unico zero, oltre a x=-4

Abbiamo calcolato prima che f(2)=-\pi e quindi negativa, e che f(4)=4-\pi quindi positiva; di conseguenza possiamo affermare con certezza che lo zero sarà nell’intervallo (2;4). Da qui, sapendo il valore di f(x) in quell’intervallo, avremo:

f(x)=2(x-2)-\pi

dove x \in (2;4), e si annulla per:

2x-4-\pi=0

x=2+\frac 12 \pi

Quindi ricaviamo che:

f(x)<0 \quad \mbox { per } \quad -4<x<2+\frac 12 \pi

f(x)>0 \quad \mbox { per } \quad -2+\frac 12 \pi<x\leq 6

f(x)=0 \quad \mbox { per } x=-4 \quad \lor \quad x=2+\frac 12 \pi.

Dato che g(x) è continua, allora avremo che:

f''(x) < 0 \quad \mbox { per } \quad -4<x<2 \quad \lor \quad 4<x<6

f''(x) > 0 \quad \mbox { per } \quad -2<x<2

f''(x) = 0 \quad \mbox { per } \quad x=-2 \quad \lor \quad 2\leq x<4

 

 

 

 

 

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