Problema 1.1 Scientifico 2014

Nella figura a lato è disegnato il grafico \Gamma di g(x)=\int_0^x f(t) \, \, dt con f funzione definita sull’intervallo [0,w] e ivi continua e derivabile. \Gamma è tangente all’asse x nell’origine O del sistema di riferimento e presenta un flesso e un massimo rispettivamente per x=h e x=k.

graficoproblemascientifico2014

1) Si determinino f(0) e f(k); si dica se il grafico della funzione f presenta punti di massimo o di minimo e se ne tracci l’andamento.

 

Risposta dello staff

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, avremo che g'(x)=f(x) per ogni x \in [0;w].

Dalla traccia sappiamo che g(x) è tangente in O ed ammette massimo in k, quindi, avremo:

f(0)=f(k)=0;

f'(h)=0.

Sappiamo anche che, se una funzione è continua, allora questa presenta un massimo e un minimo nell’intervallo considerato, e quindi, supponendo che la funzione non sia costante, che f non si annulli mai tranne che in 0 e in k, e che la sua derivata si annulli solo in h, ne deriva che g(x) è crescente nell’intervallo [0;k] e decrescente in [k;w], da cui ricaviamo la positività e la negatività di f.

Inoltre sappiamo anche che g risulta convessa in [0;h] e concava in ]h;w], e quindi, h rappresenta un punto di massimo per f, mentre w il punto di minimo.

Ecco il grafico:

 

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