Problema 2.4 P.N.I. 2014

Sia f(x)=(2-x) \sqrt{4x-x^2}

Sia h(x)= sen(f (x)). Quanti sono i punti del grafico di h(x) di ordinata 1? Il grafico di h(x) presenta punti di minimo, assoluti o relativi? Per quali valori reali di k l’equazione h(x)= k ha 4 soluzioni distinte? Qual è il valore di \int_0^4 h(x) \, dx?



Risposta dello staff

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Analizziamo la funzione h(x)=sen(f(x)):

questa funzione avrà intersezione con gli assi in O(0;0)A(2;0) e  B(4;0).

Studiamo la derivata prima:

h'(x)=\frac {2x^2-8x+4}{\sqrt{4x-x^2}} \cdot cos \left( \left(2-x\right) \sqrt{4x-x^2}\right)

Separando i due fattori, ricaviamo che:

\frac {2x^2-8x+4}{\sqrt{4x-x^2}} >0 \iff 0<x<2-\sqrt 2 \quad \lor \quad 2+\sqrt 2 <x<4

cos \left( \left(2-x\right) \sqrt{4x-x^2}\right) >0 \iff -\frac {\pi}{2}<f(x)<\frac {\pi}{2}.

Dal grafico iniziale di \Gamma ricaviamo che:

f(x)= \frac {\pi}{2} per x=\alpha_1 con 0<\alpha_1<2-\sqrt 2 e per x=\alpha_2 con 2-\sqrt 2<\alpha_2<2

f(x)= -\frac {\pi}{2} per x=\beta_1 con 2<\beta_1<2+\sqrt 2 e per x=\beta_2 con 2+\sqrt 2<\beta_2<4,

con \alpha_1 e \beta_2 simmetrici tra loro rispetto a 2, come anche \alpha_2 e \beta_1.

 

Grafico disequazione derivata prima…. l’ordine dei valori è:

0 - \alpha_1 - 2-\sqrt 2 - \alpha_2 - \beta_1 - 2+\sqrt 2 - \beta_2 - 4

Con il primo intervallo positivo, e poi alternati!!!

Da qui, ricaviamo che la funzione avrà:

  • due massimi assoluti in (\alpha_1;1)(\alpha_2;1)
  • due minimi assoluti in (\beta_1;-1)(\beta_2;-1)
  • due massimi relativi in (2+\sqrt 2;-sen 2)(4;0)
  • due minimi relativi in (2-\sqrt 2;sen 2)(0;0)

Senza bisogno di tracciare il grafico si deduce che le rette del fascio y = k (parallele all’asse x)  intersecano la funzione in quattro punti distinti per i valori di k compresi tra l’ordinata del punto di minimo relativo (2 − \sqrt 2; sen 2) e le ordinate dei punti di massimo assoluto e tra l’ordinata del punto di massimo relativo (2 + \sqrt 2; − sen 2) e le ordinate dei punti di minimo assoluto.

L’equazione h( x) = k ha dunque 4 soluzioni distinte per sen 2 < k < 1  \quad \lor \quad  −1 < k < −sen 2

Essendo la funzione simmetrica rispetto al punto A(2;0), l’integrale varrà 0.

 

 

 

 

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