Esercizio 10 Equazioni parametriche

Traccia

Determinare i valori del parametro $k$ per cui l’equazione $(5-x)^2-(4-x)^2=k(5-x)(2-x)$ ha due soluzioni discordi, dopo aver verificato che l’equazione ammette sempre due soluzioni.

Svolgimento

$(5-x)^2-(4-x)^2=k(5-x)(2-x)$

$25-10x+x^2-16+8x-x^2=k(10-5x-2x+x^2)$

$9-2x=10k-7kx+kx^2$

$kx^2 +x(2-7k)+10k- 9=0$

Per capire per quali valori di $k$ l’equazione avrà sempre soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del $\Delta$ .

$a=k$

$b=2-7k$

$c=10k-9$

$\Delta=(2-7k)^2-4k(10k-9)$

$\Delta=4-28k+49k^2-40k^2+36k$

$\Delta=9k^2+8k+4$

Imponiamo ora che $\Delta \geq 0$ e avremo:

$9k^2+8k+4 \geq 0$

L’equazione associata non ammetterà nessuna soluzione, il che implica che, andando a vedere la tabella delle disequazioni, il risultato sarà:

$\forall k \in R$ .

Affinchè le due radici siano discordi deve accadere che:

$\frac ca <0$

$\frac {10k-9}{k} \leq 0$

$N\geq 0 \Rightarrow k \geq \frac {9}{10}$
$D>0 \Rightarrow k >0$

Senza bisogno di fare il grafico, possiamo direttamente dire che la disequazione sarà verificata per valori interni alle radici, ovvero:

$0<k \leq \frac {9}{10}$

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