Esercizio 16 Equazioni parametriche

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Traccia

Verificare che, per i valori di k per i quali l’equazione x^2+2(k-1)x +k=0 ha soluzioni, anche l’equazione x^2+2(k-1)x+2a(x+k-1)+k=0 ammette radici reali, \forall a \in R.

Svolgimento

Dobbiamo studiare per ambedue le equazioni i valori di k per i quali è possibile calcolare le radici.

x^2+2(k-1)x +k=0

Per capire per quali valori di k l’equazione avrà soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del \Delta.

a=1

b=2(k-1)

c=k

\Delta=4(k-1)^2-4k

\Delta=4(k^2-2k+1)-4k

\Delta=4k^2-8k+4-4k

\Delta=4k^2-12k+4

Imponiamo ora che \Delta \geq 0 e avremo:

4k^2-12k+4 \geq 0

k^2-3k+1 \geq 0

L’equazione associata ammetterà come soluzioni,

k_1= \frac {3 - \sqrt {5}}{2} \quad \wedge \quad k_2=\frac {3+\sqrt 5}{2}

il che implica che, andando a vedere la tabella delle disequazioni, il risultato sarà:

k \leq \frac {3-\sqrt 5}{2} \quad \lor \quad k \geq \frac {3+\sqrt 5}{2} .

Ora, affinchè questi valori verifichino anche le condizioni della seconda equazione, deve verificarsi che questo intervallo sia minore di quello che andremo a calcolare.

Andiamo a studiare la positività del \Delta della seconda equazione:

x^2+2(k-1)x+2a(x+k-1)+k=0

x^2+2kx-2x+2ax+2ak-2a+k=0

x^2+2x(a+k-1)+2ak-2a+k=0

a=1

b=2(a+k-1)

c=2ak-2a+k

\Delta=4(a+k-1)^2-4(2ak-2a+k)

\Delta=4(a^2+k^2+1+2ak-2a-2k)-4(2ak-2a+k)

\Delta=4(a^2+k^2+1+2ak-2a-2k-2ak+2a-k)

\Delta=4(k^2-3k+a^2+1)

Imponiamo ora che \Delta \geq 0 e avremo:

k^2-3k+a^2+1 \geq 0

L’equazione associata ammetterà come soluzioni,

k_1= \frac {3 - \sqrt {5-4a^2}}{2} \quad \wedge \quad k_2=\frac {2+\sqrt 3}{2}

il che implica che, andando a vedere la tabella delle disequazioni, il risultato sarà:

k \leq \frac {3 - \sqrt {5-4a^2}}{2} \quad \lor \quad k \geq \frac {2+\sqrt 3}{2}

 

Basta eseguire dei semplici calcoli aritmetici e notiamo che, l’unico problema deriva dalla positività della radice nella quale è presente la a. Ma, ove questa è positiva, il valore sarà sempre minore rispetto a quello trovato per la prima disequazione.

Nella seconda parte la a non è presente, e si nota subito che i valori che verificano la prima, verificheranno anche la seconda disequazione.

 

 

 

 

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