Disequazioni di secondo grado

 

In questa pagina vogliamo offrirvi una possibilità di risoluzione di una disequazione di secondo, semplicemente riconducendola a delle possibilità che potrebbero capitare, una volta eseguiti i calcoli e ridotta la disequazione a forma normale, in base al segno del \Delta.

 

Siano x_1 e x_2 le due eventuali radici dell’equazione di secondo grado associata alla disequazione, allora avremo queste possibilità:

 

a > 0 b,c \in R \Delta > 0 x_1<x_2 \Delta=0 x_1=x_2 \Delta <0Eq. Impossibile
ax^2+bx+c \geq 0 x \leq x_1 \, \, \lor \, \, x \geq x_2 \forall x \in R \forall x \in R
ax^2+bx+c > 0 x < x_1 \, \, \lor \, \, x > x_2 \forall x \in R - \{x_1\} \forall x \in R
ax^2+bx+c<0 x_1 < x < x_2 \not \forall x \in R \not \forall x \in R
ax^2+bx+c\leq 0 x_1 \leq x \leq x_2 x=x_1 \not \forall x \in R

 

Come possiamo vedere dalla tabella, i casi possibili di disequazione sono 4, mentre i risultati possibili di un’equazione, in funzione del \Delta sono 3.

Osservando la tabella, questa ci viene in aiuto e ci permette, combinando le informazioni che abbiamo, di avere immediate soluzioni. Facciamo un paio di esempi chiarificatori:

 

  • x^2+3x+2>0

Quindi ci interesserà uno dei quattro risultati della rispettiva riga: ax^2+bx+c>0. Visto questo andiamo a calcolare il \Delta, così da capire quale colonna analizzare.

\Delta= 9-8=1>0.

Andando ad incrociare le informazioni, avremo che la soluzione sarà:

x < x_1 \, \, \lor \, \, x > x_2.

Calcoliamo le due soluzioni dell’equazione:

x_1=\frac {-3-\sqrt {1}}{2}=\frac {-3-1}{2}=\frac {-4}{2}=-2

x_2=\frac {-3+\sqrt {1}}{2}=\frac {-3+1}{2}=\frac {-2}{2}=-1.

E quindi la disequazione sarà verificata per:

x < -2 \, \, \lor \, \, x > -1.

  • x^2+3x+3<0

Quindi ci interesserà uno dei quattro risultati della rispettiva riga: ax^2+bx+c<0. Visto questo andiamo a calcolare il \Delta, così da capire quale colonna analizzare.

\Delta= 9-12=-3<0.

Come vediamo, quando il \Delta è negativo è inutile andare avanti con la risoluzione dell’equazione, e, andando ad incrociare i risultati, la soluzione della disequazione sarà:

\not \forall x \in R.

 

 

 

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