Milena scrive: Disequazioni

Oggetto: Disequazioni

Corpo del messaggio:
x^3-x^2+x-1 \geq 0  soluzione x\geq 1
scompongo il polinomio (x-1)(x^2+1)
poi studiando i segni la mia soluzione è

x<-1 \quad \lor \quad x\geq 1
perchè x-1\geq 0 ho x\geq 1
e x^2+1 \geq 0  ho x\geq -1
Dove ho sbagliato non riesco a capire.
Grazie per l’aiuto.

L’errore sta nella discussione di un fattore, difatti la scomposizione del polinomio è esatta, ovvero:

    \[x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)\]

Quando poi andiamo a studiare la disequazione:

    \[(x-1)(x^2+1) \geq 0\]

studiamo i singoli fattori maggiori o uguali a zero.

  • x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1
  • x^2+1 \geq 0 non è verificata solo per x \geq -1, ma è verificata \forall x \in \mathbb{R}

Essendo una disequazione di secondo grado, andiamo a studiare il \Delta dell’equazione associata e notiamo che questo è negativo.

Andando poi a vedere la tabella delle disequazioni in questo link, il risultato del \Delta, associato al verso della disuguaglianza ci da direttamente la soluzione.

Unendo le due soluzioni otteniamo che la disequazione iniziale è verificata per:

    \[x \geq 1.\]

 

 

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