Esercizio 2 Funzione razionale fratta

$y=\frac{1-3x}{x-1}$

Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore, e quindi il dominio è tutto $\mathbb{R}-\{1\}$ , o scritto sotto forma di intervalli:

$D=]-\infty; 1 [ \quad \cup \quad ]1;+\infty [$

Simmetrie e periodicità

$-f(x)=\frac{3x-1}{x-1}$

$f(-x)=\frac{-1-3x}{-x-1}$

Questa funzione non avrà simmetrie.

Intersezioni con gli assi

$\begin{cases} x=0 \\ y=-1 \end{cases}$

$\begin{cases} y=0 \\ x=\frac 13 \end{cases}$

La funzione avrà due intersezioni con gli assi:

$\left (0;-1 \right)$ e $\left (\frac 13;0 \right)$

Segno della funzione

Studiamo la positività di $f(x)$ :

$\frac{1-3x}{x-1} \geq0$

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$1-3x \geq 0 \rightarrow x \leq 13$

$x-1 >0 \rightarrow x > 1$

$\frac 13 \leq x < 1$

condizione agli estremi

$\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= -3$

$\lim_{ x \rightarrow 1^-} f(x)= +\infty$

$\lim_{ x \rightarrow 1^+} f(x)= -\infty$

Asintoti

La funzione avrà asintoto verticale in $x=1$ e asintoto orizzontale in $y=-3$

Studio della derivata prima

$y'=\frac{-3(x-1)-(1-3x)}{(x-1)^2}=\frac{2}{(x-1)^2}$

$y' \geq 0$

$\frac{2}{(x-3)^2} \geq0$

Visto che questa disequazione è verificata per ogni valore dell’incognita nel dominio, la funzione sarà sempre crescente per ognuno dei suoi due intervalli, quindi è crescente in $x<1$ e sarà crescente per $x>1$ . Non avrà massimi e minimi relativi

Studio della derivata seconda

$y''=\frac {-4}{(x-1)^3}$

$y''\geq 0$

$\frac {-4}{(x-1)^3} \geq0$

$x<1$

La funzione avrà concavità verso l’alto fino nell’intervallo $]-\infty; 1 [$ e concavità verso il basso nell’intervallo $]1;+\infty [$

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