Esercizio 4 Funzione razionale fratta

-2

y=\frac{2x}{x^2-1}

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore; quindi il dominio è tutto \mathbb{R} - \{ \pm 1 \}, o scritto sotto forma di intervalli:

    \[D=]-\infty; -1[ \quad \cup \quad ]-1;1[ \quad \cup \quad ]1; +\infty [\]

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=\frac{-2x}{x^2-1}

f(-x)=\frac{-2x}{x^2-1}

Questa funzione sarà simmetrica rispetto all’origine..

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}

La funzione avrà una intersezione con gli assi, proprio nell’origine:

O\left (0;0 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac{2x}{x^2-1} \geq0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

2x \geq 0 \rightarrow x \geq 0

x^2-1 >0 \rightarrow x <-1 \quad \lor \quad x >1

La funzione sarà positiva per -1<x\leq0 e per x >1.

La funzione sarà negativa per x<-1 e per 0 <x<1

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0\]

    \[\lim_{ x \rightarrow - 1^-} f(x)= - \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow - 1^+} f(x)= + \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 1^-} f(x)= - \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 1^+} f(x)= + \infty\]

  • Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in y=0

La funzione avrà due asintoti verticali per x=\pm 1

  • Studio della derivata prima

y'=\frac{2(x^2-1)-(2x)(2x)}{(x^2-1)^2}=\frac{2x^2-2-4x^2}{(x^2-1)^2}=\frac{-2x^2+2}{(x^2-1)^2}=\frac {-2}{x^2-1}

y' \geq 0

\frac{-2}{x^2-1} \geq0

Ci limiteremo quindi a studiare solo il denominatore, visto che il numeratore è sempre negativo per ogni x del dominio:

x^2 -1 < 0

La disequazione è quindi verificata per -1 < x < 1

La funzione sarà quindi decrescente in ]-\infy;-1[, e in ]1;+\infty[ e sarà crescente in ]-1;1[.

Non ammetterà massimi e minimi relativi.

 

  • Studio della derivata seconda

y''=\frac {4x}{(x^2-1)^2}

y''\geq 0

Essendo il denomnatore sempre positivo per ogni x appartenente al dominio, allora studieremo solo:

4x \geq0

x \geq 0

La funzione avrà concavità verso il basso fino negli intervalli ]-\infty; -1 [ e ]-1; 0 [ concavità verso l’alto negli intervalli ]0 ;1 [ e ]1 ;+\infty[.

Quindi avrà 1 punti di flesso nell’origine.

 

 

 

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