Paola scrive: Equazione lineare

Oggetto: equazione lineare in sen e cos

Corpo del messaggio:

    \[\sqrt 3 senx- 5cosx+1=0\]

 

Risposta dello staff

 

Per risolvere questa equazione basterà mettere a sistema, ponendo cosx=t e senx=y:

    \[\begin{cases} \sqrt 3 y -5t+1=0 \\ t^2+y^2=1\end{cases}\]

    \[\begin{cases} t= \frac {\sqrt 3y-1}{5} \\ \frac {3y^2-2y\sqrt 3+1}{25}+y^2=1\end{cases}\]

    \[\begin{cases} t= \frac {\sqrt 3y-1}{5} \\ 3y^2-2y\sqrt 3+1+25y^2=25\end{cases}\]

    \[\begin{cases} t= \frac {\sqrt 3y-1}{5} \\ 28y^2-2y\sqrt 3-24=0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} t= \frac {\sqrt 3y-1}{5} \\ 14y^2-y\sqrt 3-12=0\end{cases}\]

Svolgiamo solo la seconda equazione:

    \[y_{\frac 12}= \frac {\sqrt 3 \pm \sqrt {3+672}}{28}=\frac {\sqrt 3 \pm \sqrt {675}}{28}=\frac {\sqrt 3 \pm 15\sqrt {3}}{28}\]

    \[y_1=-\frac 12 \sqrt 3\]

    \[y_2= \frac 47 \sqrt 3\]

Da cui:

    \[t_1=\frac 12\]

    \[t_2=\frac 17\]

Quindi avremo che:

    \[x_1=300^\circ + k360^\circ\]

    \[x_2=arccos \left(\frac 17 \right)\]

 

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