Esercizio 17 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

\frac {4x^2+4x+1}{x^2+x+5}\leq 0

Svolgimento

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

  • N \geq  0

4x^2+4x+1 \geq 0

Bisogna prima di tutto calcolare il \Delta:

\Delta= 16-16=0.

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

vedremo che questa disequazione, senza bisogno di trovare la soluzione dell’equazione associata, sarà verificata:

\forall x \in R

  • D>0

x^2+x+5>0

Bisogna prima di tutto calcolare il \Delta:

\Delta= 1-20=-19.

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

possiamo subito affermare che senza bisogno di trovare le soluzioni dell’equazione associata la disequazione è impossibile.

 

(-\infty; -\frac 12) (-\frac 12; +\infty)
N \geq 0 +++ +++
D>0 +++ +++
Risultato +++ +++

 

 

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

\frac {4x^2+4x+1}{x^2+x+5}\leq 0

è verificata solo per x=-\frac 12, valore che annullerebbe il numeratore.

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