Esercizio 20 Disequazioni irrazionali contenenti radicali cubici

Traccia

\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+2}}-\sqrt[3]{x} \geq 0

Svolgimento

\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+2}} \geq \sqrt[3]{x}

Essendo una disequazione dove l’indice della radice è dispari, basterà semplicemente elevare ambo i membri alla stessa potenza e risolvere la disequazione.

(\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+2}})^3 \geq (\sqrt[3]{x})^3

\frac{x-1}{x+2} \geq x

\frac{x-1}{x+2} -x \geq 0

\frac{x-1-x^2-2x}{x+2}\geq 0

\frac{-x^2-x-1}{x+2}\geq 0

\frac{x^2+x+1}{x+2}\leq 0

Analizziamo singolarmente numeratore e denominatore:

  • x^2+x+1 \geq 0

Bisogna prima di tutto calcolare il \Delta:

\Delta= 1-4=-3.

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

vedremo che questa disequazione è verificata per

\forall x \in R

  • x+2 >0 

x>-2

Visto che il numeratore è sempre positivo, il risultato dipenderà solo dal segno del denominatore. Quindi il risultato della disequazione iniziale sarà:

x<-2

 

 

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