Esercizio 3 Valori assoluti: disequazioni in cui compaiono valori assoluti

Soluzione e svolgimento della seguente disequazione con valore assoluto

Traccia

\left | \frac {x^2-1}{x-2}\right |<2

Svolgimento

Per svolgere queste disequazioni basterà studiare due sistemi separati e poi unire le soluzioni. Innanzitutto studiamo la positività del modulo, dove per comodità, trascriviamo solo il risultato:

  • \frac {x^2-1}{x-2} \geq 0 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2

 

\begin{cases} -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x^2-1}{x-2}<2 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2 \\ \frac {x^2-1}{x-2}>-2 \end{cases}

\begin{cases} -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x^2-1}{x-2}-2<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2 \\ \frac {x^2-1}{x-2}+2>0 \end{cases}

\begin{cases} -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x^2-1-2x+4}{x-2}<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2 \\ \frac {x^2-1+2x-4}{x-2}>0 \end{cases}

\begin{cases} -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x^2-2x+3}{x-2}<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2 \\ \frac {x^2+2x-5}{x-2}>0 \end{cases}

Nel primo sistema avremo:

  •  \frac {x^2-2x+3}{x-2}<0

dove il numeratore è positivo per ogni valore dell’incognita (il \Delta è negativo), e quindi la disequazione è verificata per x<2.

Nel secondo sistema avremo:

  • \frac {x^2+2x-5}{x-2}>0

dove il numeratore è positivo per x < -1-\sqrt 6 \quad \lor \quad x>\sqrt 6 -1 e il denominatore è positivo per x >2; quindi la disequazione è verificata per

    \[-1-\sqrt 6 <x<\sqrt 6 -1 \quad \lor \quad x> 2\]

.

\begin{cases} -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x<2 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2 \\ -1-\sqrt 6 <x<\sqrt 6-1 \quad \lor \quad x> 2 \end{cases}

 

Quindi, analizzando le soluzioni dei singoli sistemi avremo:

  • --1 \leq x \leq 1
  • -1-\sqrt 6 <x<1 \quad \lor \quad 1<x<\sqrt 6-1

Unendo le due soluzioni, quella dell’esercizio iniziale è quindi:

-\sqrt 6-1<x<\sqrt 6 -1.

 

 

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