Esercizio 5 Valori assoluti: disequazioni in cui compaiono valori assoluti

Soluzione e svolgimento della seguente disequazione con valore assoluto

Traccia

\frac {3}{\left | 9-x^2\right |} \geq \frac 16

Svolgimento

Per svolgere queste disequazioni basterà studiare due sistemi separati e poi unire le soluzioni. Innanzitutto studiamo la positività del modulo, dove per comodità, trascriviamo solo il risultato:

  • 9-x^2 > 0 \Rightarrow -3 < x <3

 

\begin{cases} -3 < x <3 \\  \frac {3}{9-x^2} \geq \frac 16 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3 \\ \frac {3}{x^2-9} \geq \frac 16 \end{cases}

\begin{cases} -3 < x <3 \\  \frac {3}{9-x^2} - \frac 16 \geq 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3  \\ \frac {3}{x^2-9}- \frac 16 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} -3 < x <3 \\  \frac {18-9+x^2}{6(9-x^2)} \geq 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3 \\ \frac {18-x^2+9}{6(x^2-9)} \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} -3 < x <3 \\  \frac {x^2+9}{6(9-x^2)} \geq 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3 \\ \frac {-x^2+27}{6(x^2-9)} \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} -3 < x <3 \\  \frac {x^2+9}{6(9-x^2)} \geq 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3  \\ \frac {x^2-27}{6(x^2-9)} \leq 0 \end{cases}

Nel primo sistema avremo:

  • \frac {x^2+9}{6(9-x^2)} \geq 0

dove il numeratore (\Delta <0) è sempre positivo e il denominatore sarà positivo per -3<x<3, come d’altronde l’intera disequazione..

Nel secondo sistema avremo:

  • \frac {x^2-27}{6(x^2-9)} \leq 0

dove il numeratore è positivo per x< -3\sqrt {3} \quad \lor \quad x> 3\sqrt {3} e il denominatore è positivo per x < -3 \quad \lor \quad x>3; quindi la disequazione è verificata per

    \[-3\sqrt 3 \leq x < -3 \quad \lor \quad 3<x \leq 3\sqrt 3\]

.

\begin{cases} -3 < x <3 \\  -3<x<3 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3  \\ -3\sqrt 3 \leq x < -3 \quad \lor \quad 3<x \leq 3\sqrt 3 \end{cases}

 

Quindi, analizzando le soluzioni dei singoli sistemi avremo:

  • -3<x<3
  • -3\sqrt 3 \leq x < -3 \quad \lor \quad 3<x \leq 3\sqrt 3

Unendo le due soluzioni, quella dell’esercizio iniziale è quindi:

-3\sqrt 3 \leq x \leq 3\sqrt 3 \mbox { con } x \neq \pm 3.

 

 

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