Esercizio 3 Funzione razionale fratta

y=\frac{x-1}{x^2-2x+2}

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore, ma, il denominatore non si annullerà per nessun valore di x e quindi il dominio è tutto  \mathbb{R}, o scritto sotto forma di intervalli:

    \[D=]-\infty; +\infty [\]

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=\frac{1-x}{x^2-2x+2}

f(-x)=\frac{-x-1}{x^2+2x+2}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=-\frac 12 \end{cases}

\begin{cases} y=0 \\ x= 1 \end{cases}

La funzione avrà due intersezioni con gli assi:

A\left (0;-\frac 12 \right) e

B\left (1;0 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac{x-1}{x^2-2x+2} \geq0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

x-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1

x^2-2x+2 >0 \rightarrow  \forall x \in \mathbb{R}

x  \geq  1

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0\]

  • Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in y=0

  • Studio della derivata prima

y'=\frac{(x^2-2x+2)-(x-1)(2x-2)}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{x^2-2x+2-2x^2+4x-2}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{-x^2+2x}{(x^2-2x+2)^2}

y' \geq 0 \frac{-x^2+2x}{(x^2-2x+2)^2} \geq0

Ci limiteremo quindi a studiare solo il numeratore, visto che il denominatore è sempre positivo:

-x^2+2x \geq 0 x^2-2x \leq 0 x(x-2) \leq 0

La disequazione è quindi verificata per 0\leq x \leq 2

La funzione sarà quindi decrescente in ]-\infy;0], crescente in [0;2] e decrescente in ]2;+\infty[.

Ammetterà quindi un minimo in m\left(0;- \frac 12 \right) e un massimo in M\left(2; \frac 12 \right).

  • Studio della derivata seconda

y''=\frac {(-2x+2)(x^2-2x+2)^2-(-x^2+2x)2(x^2-2x+2)(2x-2)}{(x^2-2x+2)^4}=\frac {(-2x+2)(x^2-2x+2)-2(-x^2+2x)(2x-2)}{(x^2-2x+2)^3}=

=\frac {(2x-2)(-x^2+2x-2+2x^2-4x)}{(x^2-2x+2)^3}=\frac {(2x-2)(x^2-2x-2)}{(x^2-2x+2)^3}

y''\geq 0 \frac {(2x-2)(x^2-2x-2)}{(x^2-2x+2)^3} \geq0

Il denominatore è sempre positivo e quindi rimangono solo da studiare i due numeratori:

2x-2 \geq 0 \rightarrow x \geq 1

x^2-2x-2 \geq 0

x_{\frac 12}= \frac {2 \pm \sqrt{4+8}}{2}=\frac {2 \pm 2\sqrt 3}{2}=1 \pm \sqrt 3

x \leq 1-\sqrt 3 \quad \lor \quad x \geq 1+\sqrt3

Mettendo insieme tutti i risultati avremo che la funzione avrà concavità verso il basso fino negli intervalli ]-\infty; 1-\sqrt 3 [ e ]1; 1+\sqrt 3 [ concavità verso l’alto negli intervalli ]1-\sqrt 3 ;1 []1+\sqrt3 ;+\infty[.

Quindi avrà 3 punti di flesso con ascissa 1 e 1 \pm \sqrt 3.

 

 

 

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