Esercizio 7 Funzione razionale fratta

  • y=\frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}

 

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore; quindi il dominio è tutto  \mathbb{R} - \{ -2; 1 \}, o scritto sotto forma di intervalli:

    \[D=]-\infty; -2[ \quad \cup \quad ]-2;1[ \quad \cup \quad ]1; +\infty [\]

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=-\frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}

f(-x)=\frac{x^2-x-1}{x^2-x-2}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=\frac 12 \end{cases}

\begin{cases} y=0 \\ x_{\frac 12}=\frac {-1 \pm \sqrt 5}{2} \end{cases}

La funzione avrà tre intersezione con gli assi:

A\left (0;\frac 12 \right)

B\left (\frac {-1 - \sqrt 5}{2};0 \right)

C\left (\frac {-1 + \sqrt 5}{2};0 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac{x^2+x-1}{x^2+x-2} \geq0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

x^2+x-1 \geq 0 \rightarrow x \leq \frac {-1-\sqrt 5}{2} \quad \lor \quad x \geq \frac {-1+\sqrt 5}{2}

x^2+x-2 > 0 \rightarrow x  <-2 \quad \lor \quad x > 1

La funzione sarà positiva per x<-2 , per \frac {-1-\sqrt 5}{2} <x  < \frac {-1-\sqrt 5}{2} e per x >1.

La funzione sarà negativa per -2<x<\frac {-1-\sqrt 5}{2} e per \frac {-1-\sqrt 5}{2}  <x<1

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 1\]

    \[\lim_{ x \rightarrow - 2^-} f(x)= + \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow - 2^+} f(x)= - \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow  1^-} f(x)= - \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow  1^+} f(x)= + \infty\]

  • Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in y=1

La funzione avrà due asintoti verticali per x=-2 e x=1.

  • Studio della derivata prima

y'=\frac{(2x+1)(x^2+x-2)-(x^2+x-1)(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}=-\frac{2x+1}{(x^2+x-2)^2}

y' \geq 0

-\frac{2x+1}{(x^2+x-2)^2} \geq0

Ci limiteremo quindi a studiare solo il numeratore, visto che il denominatore è sempre positivo per ogni x del dominio:

2x+1  \leq 0

La disequazione è quindi verificata per x \leq -\frac 12

La funzione sarà quindi crescente in ]-\infy;-2[, e in ]-2;-\frac 12[ e sarà decrescente in ]-\frac 12;2[ e in ]2;+\infty[.

Avrà un massimo nel punto M di ascissa \frac 12.

 

  • Studio della derivata seconda

y''=-\frac {2(x^2+x-2)^2-2(2x+1)(x^2+x-2)(2x+1)}{(x^2+x-2)^4}=-\frac {2x^2+2x-4-8x^2-8x-2}{(x^2+x-2)^3}=6\frac {x^2+x+1}{(x^2+x-2)^3}

y''\geq 0

Il numeratore è sempre positivo, mentre invece il denominatore l’abbiamo già discusso all’inizio dell’esercizio. Avremo quindi che la funzione avrà concavità verso il basso in  ]-2; 1 [  e concavità verso l’alto negli intervalli ]-\infty ;-2 []1 ;+\infty[.

Non avrà punti di flesso.

 

 

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