Problema 2.1 PNI 2010

Problema 2

 

Nel piano riferito ad un sistemaOxy di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: y^2=2x e x^2=y

1. Si disegnino le due parabole e se ne determinino le coordinate dei fuochi e le equazioni delle rispettive rette direttrici. Si denoti con A il punto di intersezione delle due parabole diverso dall’origine O.

 

Siano p_1 e p_2 le due parabole;  queste si intersecano sia nell’origine O che rappresenta pure il vertice per entrambe che nell’ulteriore punto A che si deduce dall’equazione (ottenuta eliminando la variabile y dalle due equazioni di  p_1 e p_2):

    \[(x^2)^2=2x  \rightarrow x_A=\sqrt[3] 2  \rightarrow y_A=\sqrt[3]4 \rightarrow A(\sqrt[3]2; \sqrt[3]4).\]

Riportate le due parabole alla forma canonica e conoscendo che l’asse di simmetria di p_1 è l’asse x, le coordinate del fuoco di p_1 e l’equazione della sua direttrice d_1 sono:

    \[F_1\left(\frac {1-\Delta}{4a},\frac {−b}{2a}\right) \rightarrow F_1\left(\frac {1-0}{4\frac 12},0\right)=\left(\frac 12,0\right)\]

    \[d_1:x=\frac {−1−\Delta}{4a} \rightarrow x=\frac {−1}{4\frac 12}=−\frac 12.\]

Invece per la seconda parabola sarà:

    \[F_2\left(\frac {1-\Delta}{4a},\frac {−b}{2a}\right) \rightarrow F_2=\left(0,\frac 14\right)\]

    \[d_2: y=−\frac 14.\]

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