Problema 2.3 PNI 2010

Problema 2

 

Nel piano riferito ad un sistemaOxy di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: y^2=2x e x^2=y

 

3. Sia D la parte di piano delimitata dagli archi delle due parabole di estremi O e A. Si determini la retta r, parallela all’asse x, che stacca su D il segmento di lunghezza massima.

 

L’equazione di un fascio di rette che interseca la parabola p_1 nel punto P e la parabola p_2 nel punto Q ha l’equazione:

    \[y=k \quad \quad \quad 0\lek\le \sqrt [3] 4\]

Mettendo a sistema l’equazione della retta con quella della parabola (p_1 prima e p_2 poi) avrò l’ascissa di P (e di Q):

    \[y=k \quad \wedge \quad 2x=y^2 \rightarrow 2x=k^2 \rightarrow x_P=\frac {k^2}{2}\]

    \[y=k \quad \wedge \quad y=x^2 \rightarrow x^2=k  \rightarrowx_Q=\sqrt k\]

La lunghezza del segmento PQ è quindi di:

    \[PQ=\left|x_Q−x_P \right|=x_Q−x_P=\sqrt k - \frac {k^2}{2}\]

Per individuare il valore di k che corrisponde alla massima lunghezza di PQ studiamo la derivata prima della funzione f(k).

    \[f(k)=\sqrt k - \frac {k^2}{2}\]

    \[f′(k)=\frac {1}{2\sqrt k}-k=\frac {1-2k\sqrt k}{2\sqrt k}\]

 Studiamo la positività essendo il denominatore sempre positivo:

    \[1-2k\sqrt k \geq 0 \Rightarrow k^{\frac 32}\leq \frac 12 \Rightarrow k \leq \frac {1}{\sqrt[3]4} .\]

Quindi la retta sarà:

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