Problema 1.1 P.N.I. 2011

Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da f(x)= x + ln 4 + \frac {2}{e^x+1} e sia  \Gamma la sua rappresentazione grafica nel sistema di riferimento Oxy.

 

Si determini il limite di f(x) per x che tende a +\infty e a -\infty. Si calcoli f(x) + f(-x) e si spieghi perchè dal risultato si può dedurre che il punto A(0; 1 + ln4) è centro di simmetria di \Gamma.

 

Si nota subito che

    \[\lim_{ x \to \pm \infty} f(x)= \pm \infty,\]

in quanto 

    \[\lim_{ x \to - \infty} \frac {2}{e^x+1}= 2\]

e

    \[\lim_{ x \to + \infty} \frac {2}{e^x+1}= 0.\]

Notiamo anche che:

    \[f(x)+f(-x)=x+ln 4 + \frac {2}{e^x+1} - x + ln 4 + \frac {2}{e^{-x}+1}=2ln 4 +2 \left( \frac {1}{e^x+1} + \frac {1}{e^{-x}+1} \right)=\]

    \[= 2ln 4 + 2 \left ( \frac {1}{e^x+1} + \frac {e^x}{e^x+1}\right)=2ln4+2=2(ln4+1).\]

Quindi, in base a questo risultato, il punto medio del segmento che unisce (x,f(x)) e (-x,f(-x)) è il punto \left( 0;\frac {f(x)+f(-x)}{2}\right)=\left( 0; 1+ln 4\right), e sarà i centro di simmetria della curva.

 

 

 

Altri esercizi svolti

(Questa pagina è stata visualizzata da 1 persone)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *