Problema 1.3 P.N.I. 2011

Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da f(x)= x + ln 4 + \frac {2}{e^x+1} e sia  \Gamma la sua rappresentazione grafica nel sistema di riferimento Oxy.

 

Si provi che, per tutti gli x reali, è: f(x) = x + 2+ ln 4 -\frac {2e^x}{e^x+1}. Si provi altresì che la retta r di equazione y = x + ln4 e la retta s di equazione y = x + 2 + ln 4 sono asintoti di \Gamma e che \Gamma è interamente compresa nella striscia piana delimitata da r e da s.

 

Proviamo la richiesta:

    \[x + 2+ ln 4 -\frac {2e^x}{e^x+1}=x+ln 4 +\frac {2e^x+2-2e^x}{e^x+1}=x+ln 4 +\frac {2}{e^x+1}=f(x).\]

Determiniamo gli asintoti obliqui:

    \[m=\lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac {x+ln 4 +\frac {2}{e^x+1}}{x}\right)=\lim_{x \to \pm \infty} \left(1+ \frac 1x ln 4 +\frac {2}{x(e^x+1)}\right)=1.\]

    \[q_1=\lim_{x \to + \infty} \left(x+ln 4 +\frac {2}{e^x+1}-x\right)=ln 4.\]

    \[q_2=\lim_{x \to - \infty} \left(x+ln 4 +\frac {2}{e^x+1}-x\right)=ln 4+2.\]

Quindi la funzione ammetterà come asintoto obliquo a sinistra y=x+2+ln 4, e come asintoto obliquo a destra y=x+ln4.

Si noti anche dal grafico che, \forall x \in R,

    \[x+ln 4 <f(x)<x+ln4+2,\]

dato che

    \[0 < \frac {2}{e^x+1}<2.\]

 

 

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