Problema 2.1 P.N.I. 2011

Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da:

    \[f(x) = x^3 - 16x \quad \quad \mbox { e } \quad \quad  g(x)= sen \frac {\pi}{2} x.\]

 

Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i punti del grafico di g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo  [–10; 10] e se ne indichino le coordinate.

Studiamo f(x):

Essendo una funzione razionale intera, il dominio sarà proprio l’insieme dei numeri reali, quindi D=R.

Essendo una funzione polinomiale con termini di grado dispari, allora ovviamente sarà dispari, infatti:

f(-x)=-x^3+16x=-f(x)=.

Intersecherà l’origine degli assi, e:

\begin {cases} y=0 \\ x(x^2-16)=0\end{cases}

\begin {cases} y=0 \\ x(x-4)(x+4)=0\end{cases}

Quindi intersecherà gli assi nei punti:

o(0;0) \quad A(4;0) \quad B(-4;0).

La funzione f(x)=x^3-16x sarà positiva se x(x+4)(x-4)>0, e quindi sarà positiva per -4<x<0 e per x>4, e negativa per x<-4 e per 0<x<4.

I limiti agli estremi del dominio saranno:

\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\pm \infty.

ed ovviamente, essendo una funzione polinomiale, questa non ammette asintoti.

Studiamo la derivata prima:

f'(x)=3x^2-16

Quindi la derivata prima sarà positiva (f crescente)per x<- \frac {4}{\sqrt 3} e per x>\frac {4}{\sqrt 3}, e negativa (f decrescente) per -\frac {4}{\sqrt 3}<x<\frac {4}{\sqrt 3}.

Ammetterà un massimo in \left(-\frac {4}{\sqrt 3};\frac {128}{3\sqrt 3}\right) e un minimo in \left(\frac {4}{\sqrt 3};-\frac {128}{\sqrt 3}\right).

Studiamo la derivata seconda:

f''(x)=6x.

Quindi la derivata prima sarà positiva (f convessa) per x>0, e negativa (f concava) per x<0. Ammetterà flesso nell’origine degli assi.

La seconda fnzione è semplicemente una funziona seno di periodo T=4.


 

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