Problema 2.1 P.N.I. 2013

Sia f la funzione definita per tutti gli x positivi da f (x) = x^3 ln x.

 

Si studi f e si tracci il suo grafico \gamma su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici Oxy; accertato che \gamma presenta sia un punto di flesso che un punto di minimo se ne calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le ascisse arrotondate alla terza cifra decimale.

 

Studiamo la funzione f(x)=x^3ln(x).

Il dominio ce lo da già il testo, quindi sarà (volendo si può anche studiare l’argomento del logaritmo:

D= \left{ x \in R : x >0 \right}.

La funzione non è simmetrica, quindi non è ne pari ne dispari essendo definita solo per il semiasse positivo delle x.

Interseca l’asse delle ascisse in x=1, in quanto annulla il logaritmo. Non può essere considerato x=0 perchè un punto non appartenente al dominio.

Non può avere intersezioni con l’asse delle ordinate in quanto, come detto prima, la funzione non è definita in x=0.

Positività:

    \[f(x)=x^3 ln(x)>0 \Rightarrow ln(x)>0 \Rightarrow x>1\]

dato che x^3 è sempre positivo per x positive…

Quindi la funzione è positiva per x>1, negativa per x \in (0;1).

La funzione non presenta asintoti orizzontali:

    \[\lim_{x \to \infty} f(x)=+\infty.\]

La funzione non presenta asintoti verticali:

    \[\lim_{x \to 0^+} f(x)=0^+.\]

Difatti

    \[\lim_{x \to 0^+}  x^3ln x= \lim_{x \to 0^+} \frac {ln x}{\frac {1}{x^3}}=\]

Per de l’Hopital

    \[=\lim_{x \to 0^+} \frac {\frac 1 x}{\frac {-3}{x^4}}=-3 \lim_{x \to 0}(x^4)=0^-.\]

 

Studiamo la derivata prima:

f'(x)=3x^3ln(x)+x^2=x^2(3ln(x)+1).

f'(x)=0 quando ln(x)=-\frac 13, visto che x^2>0 per ogni x \in D.

Dal segno della derivata prima otteniamo che x=\frac {1}{\sqrt[3] {e}} \simeq 0,717 è un minimo. Il punto di minimo sarà:

m(\frac {1}{\sqrt[3] {e}};-\frac {1}{3e}).

Studiamo la derivata seconda:

f''(x)= 6xlnx + 5x=x(6lnx+5).

f''(x)=0 quando lnx=- \frac 56, ovvero quando x=\frac {1}{\sqrt[6]{e^5}}\simeq 0,435.

Dal segno di f''(x) si deduce che tale valore di x è un flesso ascendente.

 

 

 

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