Problema 1 Scientifico 2014

Nella figura a lato è disegnato il grafico \Gamma di g(x)=\int_0^x f(t) \, \, dt con f funzione definita sull’intervallo [0,w] e ivi continua e derivabile. \Gamma è tangente all’asse x nell’origine O del sistema di riferimento e presenta un flesso e un massimo rispettivamente per x=h e x=k.

 

1) Si determinino f(0) e f(k); si dica se il grafico della funzione f presenta punti di massimo o di minimo e se ne tracci l’andamento.

2) Si supponga, anche nei punti successivi 3 e 4, che g(x) sia, sull’intervallo considerato, esprimibile come funzione polinomiale di terzo grado. Si provi che, in tal caso, i numeri h e k dividono l’intervallo [0,w] in tre parti uguali.

3) Si determini l’espressione di g(x) nel caso w=3 e g(1)=\frac 23 e si scrivano le equazioni delle normali a \Gamma nei punti in cui esso è tagliato dalla retta y=\frac 23.

4) Si denoti con R la regione che \Gamma delimita con l’asse x e sia W il solido che essa descrive nella rotazione completa attorno  all’asse y . Si spieghi perchè il volume di W si può ottenere
calcolando:

    \[\int_0^3(2 \pi x)g(x) \, \, dx\]


Supposte fissate in decimetri le unità di misura del sistema  monometrico Oxy, si dia la capacità in litri di W.

 

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