Alessio scrive: Esercizio con frazioni algebriche

Oggetto: Espressioni con frazioni algebriche e prodotti notevoli

Corpo del messaggio:
Non riesco a procedere con questi prodotti notevoli, mi potreste spiegare i passaggi?

(\frac{a^2-2a+1}{a^2} - \frac {a^2}{a^2+2a+1}): (2-\frac 1a - \frac {1}{a+1})^2

Ris \frac{1}{1-2a^2}

 

Risposta dello staff

    \[\left(\frac{a^2-2a+1}{a^2} - \frac {a^2}{a^2+2a+1}\right):\left (2-\frac 1a - \frac {1}{a+1}\right)^2=\]

    \[\left(\frac{\left(a-1\right)^2}{a^2} - \frac {a^2}{\left(a+1\right)^2}\right):\left ( \frac {2a^2+2a-a-1-a}{a\left(a+1\right)}\right)^2=\]

    \[\left(\frac{\left(a+1\right)^2\left(a-1\right)^2-a^4}{a^2\left(a+1\right)^2}\right):\left ( \frac {2a^2-1}{a\left(a+1\right)}\right)^2=\]

    \[\left(\frac{\left(a^2+2a+1\right)\left(a^2-2a+1\right)-a^4}{a^2\left(a+1\right)^2}\right)\cdot  \frac {a^2\left(a+1\right)^2}{\left(2a^2-1\right)^2}=\]

Notiamo che il denominatore della prima frazione è esattamente uguale al numeratore della seconda, quindi:

    \[\frac{a^4-2a^3+a^2+2a^3-4a^2+2a+a^2-2a+1-a^4}{\left(2a^2-1\right)^2}=\]

    \[\frac{-2a^2+1}{\left(2a^2-1\right)^2}=\]

    \[-\frac{1}{2a^2-1}=\]

    \[\frac{1}{1-2a^2}.\]

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