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Maria scrive: Esercizio studio di funzione

Oggetto: Funzioni
Corpo del messaggio:

rispondete con una certa urgenza per favore

 

foto-3

 

 

Per come costruita, ovviamente la funzione assumerà solo valori in R.

Si nota anche che, per x negative, la funzione assumerà qualsiasi valore positivo, ed lo assumerà solo una volta. Stesso discorso per le x positive, considerando però che assumerà solo valori negativi. Questo implica automaticamente che la funzione risulta essere sia suriettiva che iniettiva:

 

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La funzione inversa sarà:

    \[f^{-1}(x)= \begin{cases} \sqrt y  \quad y \geq 0\\  -\sqrt{-4y} \quad y \leq 0 \end{cases}\]

 

 

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Claudio scrive: Problema di geometria risolvibile con equazioni

Oggetto: Problema di geometria risolvibile con equazioni

Corpo del messaggio:
Un trapezio rettangolo con la base maggiore AB, AD il lato perpendicolare alle basi ed è H il punto d’incontro di AB con la perpendicolare alle basi condotta per l’estremo C della base minore. Determina HB, CH, BC sapendo che CH=4/3HB e che BC+CH=45cm. Poi sapendo che AB= 42cm determina perimetro e area del trapezio.
Risultato:HB=15; CH=AD=20;BC=25;114cm; 690CM2

 

problemi risolubili con pitagora 2

Dai dati sappiamo che:

CH=\frac 43 HB

BC+CH=45 \mbox { cm}

Poniamo CH=x, così da avere:

HB=\frac 34 x

BC=45-x

Sfruttando il teorema di Pitagora, otteniamo:

CH^2=BC^2-BH^2

Da cui:

x^2=(45-x)^2-(\frac 34x)^2

x^2=2025-90x+x^2-\frac {9}{16}x^2

svolgendo il minimo comune multiplo otteniamo:

9x^2+1440x-32400=0

x^2+160x-3600=0

(x-20)(x+180)=0

Essendo CH la misura di un lato, questa non può  essere negativa e quindi:

x=20

CH=20 \mbox { cm}

HB=15 \mbox { cm}

BC=25 \mbox { cm}

Sappiamo anche che AB=42 \mbox { cm}, e quindi possiamo calcolare anche CD:

CD=AB-HB=(42-15)\mbox { cm}=27\mbox { cm}.

AD sarà uguale a CH per costruzione, quindi:

2p=(42+25+27+20) \mbox { cm}=114 \mbox { cm}:

A=\frac {(B+b) \cdot h}{2}=\frac {(42+27)\cdot 20}{2}\mbox { cm}^2=690 \mbox { cm}^2

 

 

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Samuele scrive: Esercizio sul valore assoluto

Oggetto: Equazioni con valore assoluto

Corpo del messaggio:

1)\frac { \left|2x^2-3x+1\right|}{x-2}=1

 

Risposta dello staff

Imponendo che x \neq 2, otteniamo:

\left|2x^2-3x+1\right|=x-2

Quindi avremo da risolvere due sistemi:

\begin{cases} 2x^2-3x+1=x-2 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} 2x^2-3x+1=2-x \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} 2x^2-4x+3=0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} 2x^2-2x-1=0\\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {4 \pm \sqrt {16-24}}{4} \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {2 \pm \sqrt {4+8}}{4} \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} \mbox { impossibile } \Delta <0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {2 \pm 2\sqrt {2}}{4} \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} \mbox { impossibile } \Delta <0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {2}}{2} \\ x < 2 \end {cases}

Il secondo sistema ammetterà ambedue le soluzioni, poichè \frac {1+\sqrt 2}{2}<2.

Quindi l’equazione avrà come soluzioni:

    \[x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {2}}{2}.\]

 

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Alessio scrive: Esercizio con frazioni algebriche

Oggetto: Espressioni con frazioni algebriche e prodotti notevoli

Corpo del messaggio:
Non riesco a procedere con questi prodotti notevoli, mi potreste spiegare i passaggi?

(\frac{a^2-2a+1}{a^2} - \frac {a^2}{a^2+2a+1}): (2-\frac 1a - \frac {1}{a+1})^2

Ris \frac{1}{1-2a^2}

 

Risposta dello staff

    \[\left(\frac{a^2-2a+1}{a^2} - \frac {a^2}{a^2+2a+1}\right):\left (2-\frac 1a - \frac {1}{a+1}\right)^2=\]

    \[\left(\frac{\left(a-1\right)^2}{a^2} - \frac {a^2}{\left(a+1\right)^2}\right):\left ( \frac {2a^2+2a-a-1-a}{a\left(a+1\right)}\right)^2=\]

    \[\left(\frac{\left(a+1\right)^2\left(a-1\right)^2-a^4}{a^2\left(a+1\right)^2}\right):\left ( \frac {2a^2-1}{a\left(a+1\right)}\right)^2=\]

    \[\left(\frac{\left(a^2+2a+1\right)\left(a^2-2a+1\right)-a^4}{a^2\left(a+1\right)^2}\right)\cdot  \frac {a^2\left(a+1\right)^2}{\left(2a^2-1\right)^2}=\]

Notiamo che il denominatore della prima frazione è esattamente uguale al numeratore della seconda, quindi:

    \[\frac{a^4-2a^3+a^2+2a^3-4a^2+2a+a^2-2a+1-a^4}{\left(2a^2-1\right)^2}=\]

    \[\frac{-2a^2+1}{\left(2a^2-1\right)^2}=\]

    \[-\frac{1}{2a^2-1}=\]

    \[\frac{1}{1-2a^2}.\]

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Sandra scrive: Esercizio di geometria

Oggetto: Problema geometria risolvibile con equazioni

Corpo del messaggio:
Del rettangolo ABCD si conosce la base AB=64 cm e l’altezza BC=1 dm. Prendi su AB un punto M e su CD un punto N in modo che sia DN=2AM e che l’area del trapezio AMND sia 360 cm^2. Determina il perimetro dei due trapezi AMND e MBCN. (poni AM = x) soluzione 108cm; 92cm

 

 

 

RETTANGOLOCONTRIANGOLO

Come da traccia poniamo AM=x, così da avere

BM=64-x

DN=2x

CN=64-2x.

Sapendo che l’area del trapezio AMND sarà:

A_{AMND}=\frac {(AM+ND)\cdot AD}{2},

imponiamo l’uguaglianza:

\frac {(x+2x)\cdot 10}{2}=360

15x=360

x=24.

Da cui ricaviamo:

AM=24 \mbox { cm}

BM=40 \mbox { cm}

DN=48 \mbox { cm}

CN= 16 \mbox { cm}.

Ci resta solo da trovare MN, che ricaviamo con la costruzione, prendendo H sul lato AB, del triangolo rettangolo MNH, sapendo che:

MH=BM-BH=BM-CN=24 \mbox { cm}.

MN=\sqrt {NH^2+MH^2}\mbox { cm}=\sqrt{100+576} \mbox { cm}=\sqrt{676} \mbox { cm}=26 \mbox { cm}.

Ricaviamo ora i 2 perimetri:

2p_{AMND}=(24+26+48+10)\mbox { cm}=108 \mbox { cm}

2p_{MBCN}=(40+10+16+26)\mbox { cm}=92 \mbox { cm}

 

 

 

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Eleonora scrive: Esercizi disequazioni fratte

Corpo del messaggio:
Salve,avrei bisogno di una mano per risolvere questi esercizi.Grazie in anticipo.
Disequazioni fratte numeriche :
(x-4)*(x+2)
__________ ≥0
x*(x^2+1)

(1-x)^4*(x-2)^3
_______________ >0
x*(x-3)^2

x +  7x+4
___  ______  <0

x-3 (x-3)^2

 

Analizziamo caso per caso:

    \[\frac {(x-4)(x+2)}{x(x^2+1)} \geq0\]

  • x-4 \geq 0 \iff x \geq 4
  • x+2 \geq 0 \iff x \geq -2
  • x >0
  • x^2+1 >0 \forall x perchè somma di due quadrati.

Facendo il grafico otteniamo che la disequazione è verificata per:

-2 \leq x <0 \quad \lor \quad x \geq 4

 

Analizziamo caso per caso:

    \[\frac {(1-x)^4(x-2)^3}{x(x-3)^2} >0\]

  • (1-x)^4 > 0 \iff x \neq 1
  • (x-2)^2 > 0 \iff x > 2
  • x >0
  • (x-3)^2 >0 \iff x \neq 3.

Facendo il grafico otteniamo che la disequazione è verificata per:

x <0 \quad \lor \quad x > 2 \mbox { con } x \neq 3

 

Analizziamo caso per caso:

    \[\frac {x}{x-3} + \frac {7x+4}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \frac {x^2-3x+7x+4}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \frac {x^2+4x+4}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \frac {(x+2)^2}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \left(\frac {x+2}{x-3}\right)^2<0.\]

Essendo un quadrato per definizione questa non potrà mai essere verificata.

 

 

 

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Melissa scrive: Esercizio sul triangolo

Oggetto:

Corpo del messaggio:
calcolare l area del triangolo abc con c( 3,1 ) ed ssendo a,b i punti nei quali la retta di quuazione 2x +y+8=0 taglia gli assi coordinati

 

Troviamo le coordinate dei due punti:

A(0,-8)

B(-4,0).

 

Sapendo le coordinate calcoliamo il determinante della seguente matrice:

 

    \[\begin{vmatrix} 0 & -8 & 1 \\ -4 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix},\]

da cui avremo:

A_{ABC}=0+24+4-(0+0-32)=28+32=60.

 

 

 

 

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Rutri scrive: Esercizio sulle rette e i trapezi

Oggetto: Aiuto su un esercizio

Corpo del messaggio:
Quale tra le seguenti rette forma nel primo quadrante
un trapezio di area 24 con gli assi coordinati e la retta
y = 4?

Ris: y = −1/2x + 5

Ho qualche difficoltà nell’impostazione, grazie in anticipo per la risposta.

 Risposta dello staff

Non conoscendo le altre rette su cui lavorare, analizziamo il ragionamento che ci porterebbe alla soluzione.

Affinche la retta formi un trapezio con gli assi coordinati, si intuisce subito che la retta intersecherà l’asse delle y in un punto maggiore di A(0;4), punto di intersezione tra la retta y=4 e l’asse delle ordinate, e avrà coefficiente angolare negativo.

Da ciò, sapendo che: A_{trap}= \frac {(B+b)\cdot h}{2}, avremo che, chiamando con B il punto di intersezione tra la retta cercata e la retta y=4, e C il punto di intersezione tra la retta cercata e l’asse x, del trapezio ABCO:

  • OA è l’altezza
  • OC è la base maggiore
  • AB è la base minore

Conosciamo per certo la lunghezza di OA, 4, ma degli altri due lati possiamo solo addurre supposizioni.

Sia la retta cercata y=mx+q,

il punto B avrà coordinate B(\frac {4-q}{m};4), mentre C(- \frac q m;0).

Quindi:

OA=4

OC=-\frac q m

AB=\frac {4-q}{m}

Risolvendo avremo che:

A_{trap}=\frac {\left(\frac {4-q}{m}-\frac qm \right)\cdot 4}{2}=2\frac {4-2q}{m}=4\frac {2-q}{m}.

Per la traccia avremo che:

4\frac {2-q}{m}=24, da cui

\frac {2-q}{m}=6

2-q=6m

q=2-6m.

Come notiamo, l’unica limitazione che abbiamo è che q>4, ma il numero di rette che generano un trapezio di quell’area sono infinite.

Manca quindi una parte della traccia, ma crediamo che il ragionamento permetta di risolvere comunque il problema.

 

 

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Adriana scrive: Esercizio integrale fratto

Oggetto: soluzione di un esercizio

Corpo del messaggio:
ciao come si risolve questo integrale:dx fratto la radice di e^2x+2e^x  grazie ciaooo

    \[\int \frac {dx}{e^{2x}+2e^x}.\]

 

Effettuiamo una sostituzione:

e^x=t

e^xdx=dt

dx=\frac 1t dt.

L’integrale diventa così:

    \[\int \frac {dt}{t(t^{2}+2t)}=\int \frac {dt}{t^2(t+2)}.\]

\frac  {A}{t^2}+ \frac {B}{t}+\frac {C}{t+2}=\frac {At+2A+Bt^2+2Bt+Ct^2}{t^2(t+2)}=\frac {t^2(B+C)+t(A+2B)+2A}{t^2(t+2)}.

Da qui avremo:

\begin{cases} B+C=0 \\ A+2B=0 \\ 2A=1 \end{cases}

\begin{cases} C=\frac 14 \\ B=-\frac 14 \\ A=\frac 12 \end{cases}.

L’integrale quindi diventa:

    \[\int \left( \frac 12\frac  {1}{t^2}-\frac 14 \frac {1}{t}+\frac 14\frac {1}{t+2}\right) dt=\]

    \[=-\frac {1}{2t}- \frac 14 log \left|t \right|+\frac 14 log \left|t+2 \right| +c=\]

    \[=-\frac {1}{2e^x}- \frac 14 log \left|e^x \right|+\frac 14 log \left|e^x+2 \right| +c.\]

    \[=-\frac {1}{2e^x}- \frac 14 x +\frac 14 log (e^x+2) +c.\]

 

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Erica scrive: Esercizio integrale fratto

Corpo del messaggio:
ciao ti chiedo gentilmente la soluzione di questo esercizio: integrale di dx fratto e^2x-3e^x+2  e anche  integrale di e^x fratto 3e^2x- e^x+2  grazie

 

1) \int \frac {dx}{e^{2x}-3e^x+2}

Utilizziamo il criterio di sostituzione e otteniamo:

e^x=t

e^x \, dx = \, dt

dx= \frac {dt}{t}

Sostituendo otteniamo:

\int \frac {dt}{t(t^{2}-3t+2)}

\int \frac {dt}{t(t-2)(t-1)}

Utilizziamo la formula per gl integrali di funzioni razionali:

\frac {1}{t(t-1)(t-2)}=\frac {A}{t}+\frac {B}{t-1}+\frac {C}{t-2}=\frac {At^2-3At+2A+Bt^2-2Bt+Ct^2-Ct}{t(t-1)(t-2)}=\frac {t^2(A+B+C)+t(-3A-2B-C)+2A}{t(t-1)(t-2)}

Risolviamo il sistema:

\begin{cases} A+B+C =0\\ -3A-2B-C=0 \\ 2A=1\end{cases}

\begin{cases} \frac 12+B+C =0\\ \frac 32+2B+C=0 \\ A=\frac 12\end{cases}

\begin{cases} B =-1\\ \C=\frac 12 \\ A=\frac 12\end{cases}.

Quindi l’integrale diventa:

\int (\frac 12 \frac {1}{t}-\frac {1}{t-1}+\frac 12 \frac {1}{t-2}) \, dt=

=\frac 12 log (t) - log( t-1) +\frac 12 log(t-2)+c=

=\frac 12 (log (\frac {t(t-2)}{2(t-1)})+c

 

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Erica scrive: Esercizio integrale con radice

Oggetto: soluzione di un esercizio

Corpo del messaggio:
ciao mi potresti risolvere genttilente questo integrale : radice di 1+x^2 e anche l’integrle dx fratto la radice di 1 +x^2  grazie ciaooo

 

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx

Risolviamolo per parti:

f(x)=\sqrt {1+x^2} \qquad \qquad f'(x)=\frac {x}{\sqrt{1+x^2}}

g'(x)=1 \qquad \qquad g(x)=x

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=x\sqrt {1+x^2}- \int \frac {x^2}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx=

x\sqrt {1+x^2}- \int \frac {1+x^2}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx=

x\sqrt {1+x^2}- \int \sqrt{1+x^2}} \, \, dx + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx.

Analizzando quindi avremo che:

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=x\sqrt {1+x^2}- \int \sqrt{1+x^2}} \, \, dx + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx,

e quindi:

2\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=x\sqrt {1+x^2} + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=\frac 12(x\sqrt {1+x^2} + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx).

Risolviamo ora il secondo integrale che in pratica risolve anche la seconda questione:

\int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx.

Poniamo, usando le funzioni iperboliche:

x=senh (y)

dx=cosh(y) \, \,dy.

Sapendo che cosh^2y-senh^2y=1, avremo:

\int \frac {1}{cosh \, y} cosh \, y \,\, dy=\int dy=y+c=arcsenh(x)+c.

Questo risolve la seconda domanda, mentre il primo integrale sarà quindi:

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=\frac 12(x\sqrt {1+x^2} + arcsenh(x))+c.

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Fabio scrive: Esercizio disequazione

Oggetto: disequazione

Corpo del messaggio:

\frac {x}{x^2+4+2x}-\frac {4x^2}{x^3-8}+\frac {3x+<wbr />1}{x^2-4}<0

 

Per risolvere questa disequazione bisognerà prima trovare il minimo comune multiplo tra i denominatori, scomponendo ove possibile:

\frac {x}{x^2+4+2x}-\frac {4x^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}+\frac {3x+<wbr />1}{(x-2)(x+2)}<0

\frac {x(x^2-4)-4x^2(x+2)+(3x+1)(x^2+2x+4)}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0

\frac {x^3-4x-4x^3-8x^2+3x^3+6x^2+12x+x^2+2x+4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0

\frac {-x^2+10x+4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0

\frac {x^2-10x-4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}>0

Analizziamo i singoli fattori:

  • x^2-10x-4>0

x_{\frac 12}=\frac {10 \pm \sqrt {100+16}}{2}=\frac {10 \pm \sqrt {116}}{2}=\frac {10 \pm 2\sqrt {29}}{2}=5\pm \sqrt {29}

Andando a vedere la tabella delle disequazioni, possiamo dire che questa disequazione è verificata per:

x< 5- \sqrt {29} \, \, \quad \lor \quad \, \, x > 5 +\sqrt {29}

  • x+2>0

x>-2

  • x-2>0

x>2

  • x^2+2x+4>0

Questa sarà verificata per ogni x perchè il \Delta=4-16 risulta essere negativo.

 

Analizzando il grafico otteniamo il risultato della disequazione iniziale:

$x<-2 \quad \lor \quad 5-\sqrt{29}

 

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Nicolò scrive: Esercizio sistemi di disequazioni

Oggetto: sistemi di disequazioni

Corpo del messaggio:

  • \begin{cases} \frac {x-2}{x+3}\geq 0\\ 7+2x>-\frac {x^2}{7} \end{cases}
  • \begin{cases} (x+1)^2 \leq 16 \\ x(x-7) \geq 4(5-2x)\end{cases}

 

Risolviamo il primo sistema:

 

\begin{cases} \frac {x-2}{x+3}\geq 0\\ 7+2x>-\frac {x^2}{7} \end{cases}

Per la prima disequazione discutiamo numeratore e denominatore ottenendo:

  • x-2 \geq 0 \iff x \geq 2
  • x+3 >0 \iff x>-3

Avremo quindi:

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x^2+14x +49 >0 \end{cases}

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ (x+7)^2 >0 \end{cases}

La seconda disequazione è verificata sempre a meno di x=7.

Avremo quindi:

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x \neq 7 \end{cases}

Che risulterà anche essere la soluzione del sistema iniziale:

    \[x<-3 \quad \lor \quad x \geq 2 \mbox { con  } x \neq 7.\]

 

Secondo sistema:

\begin{cases} (x+1)^2 \leq 16 \\ x(x-7) \geq 4(5-2x)\end{cases}

Sulla prima sfruttiamo una particolarità delle disequazioni di secondo grado, ovvero:

y^2 \leq a^2 \iff -a \leq y \leq a, così da avere:

\begin{cases} -4 \leq x+1 \leq 4 \\ x^2-7x \geq 20-8x\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ x^2+x-20 \geq 0\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ (x-4)(x+5) \geq 0\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ x \leq -5 \quad x \geq 4\end{cases}

Come notiamo dalle soluzioni, questo sistema ammette come soluzione solo x=-5

 

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