Erica scrive: Esercizio integrale fratto

Corpo del messaggio:
ciao ti chiedo gentilmente la soluzione di questo esercizio: integrale di dx fratto e^2x-3e^x+2  e anche  integrale di e^x fratto 3e^2x- e^x+2  grazie

 

1) \int \frac {dx}{e^{2x}-3e^x+2}

Utilizziamo il criterio di sostituzione e otteniamo:

e^x=t

e^x \, dx = \, dt

dx= \frac {dt}{t}

Sostituendo otteniamo:

\int \frac {dt}{t(t^{2}-3t+2)}

\int \frac {dt}{t(t-2)(t-1)}

Utilizziamo la formula per gl integrali di funzioni razionali:

\frac {1}{t(t-1)(t-2)}=\frac {A}{t}+\frac {B}{t-1}+\frac {C}{t-2}=\frac {At^2-3At+2A+Bt^2-2Bt+Ct^2-Ct}{t(t-1)(t-2)}=\frac {t^2(A+B+C)+t(-3A-2B-C)+2A}{t(t-1)(t-2)}

Risolviamo il sistema:

\begin{cases} A+B+C =0\\ -3A-2B-C=0 \\ 2A=1\end{cases}

\begin{cases} \frac 12+B+C =0\\ \frac 32+2B+C=0 \\ A=\frac 12\end{cases}

\begin{cases} B =-1\\ \C=\frac 12 \\ A=\frac 12\end{cases}.

Quindi l’integrale diventa:

\int (\frac 12 \frac {1}{t}-\frac {1}{t-1}+\frac 12 \frac {1}{t-2}) \, dt=

=\frac 12 log (t) - log( t-1) +\frac 12 log(t-2)+c=

=\frac 12 (log (\frac {t(t-2)}{2(t-1)})+c

 

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