Rutri scrive: Esercizio sulle rette e i trapezi

Oggetto: Aiuto su un esercizio

Corpo del messaggio:
Quale tra le seguenti rette forma nel primo quadrante
un trapezio di area 24 con gli assi coordinati e la retta
y = 4?

Ris: y = −1/2x + 5

Ho qualche difficoltà nell’impostazione, grazie in anticipo per la risposta.

 Risposta dello staff

Non conoscendo le altre rette su cui lavorare, analizziamo il ragionamento che ci porterebbe alla soluzione.

Affinche la retta formi un trapezio con gli assi coordinati, si intuisce subito che la retta intersecherà l’asse delle y in un punto maggiore di A(0;4), punto di intersezione tra la retta y=4 e l’asse delle ordinate, e avrà coefficiente angolare negativo.

Da ciò, sapendo che: A_{trap}= \frac {(B+b)\cdot h}{2}, avremo che, chiamando con B il punto di intersezione tra la retta cercata e la retta y=4, e C il punto di intersezione tra la retta cercata e l’asse x, del trapezio ABCO:

  • OA è l’altezza
  • OC è la base maggiore
  • AB è la base minore

Conosciamo per certo la lunghezza di OA, 4, ma degli altri due lati possiamo solo addurre supposizioni.

Sia la retta cercata y=mx+q,

il punto B avrà coordinate B(\frac {4-q}{m};4), mentre C(- \frac q m;0).

Quindi:

OA=4

OC=-\frac q m

AB=\frac {4-q}{m}

Risolvendo avremo che:

A_{trap}=\frac {\left(\frac {4-q}{m}-\frac qm \right)\cdot 4}{2}=2\frac {4-2q}{m}=4\frac {2-q}{m}.

Per la traccia avremo che:

4\frac {2-q}{m}=24, da cui

\frac {2-q}{m}=6

2-q=6m

q=2-6m.

Come notiamo, l’unica limitazione che abbiamo è che q>4, ma il numero di rette che generano un trapezio di quell’area sono infinite.

Manca quindi una parte della traccia, ma crediamo che il ragionamento permetta di risolvere comunque il problema.

 

 

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