Archivi categoria: retta

Valeria scrive: equazione di una retta

Oggetto: equazione di una retta

Corpo del messaggio:
Dati i punti A(4;1), B(-1;2) e C(2;0)  determina:
a. equazione retta AB
b. equazione retta parallela AB passante per C
c. equazione retta parallela all’asse delle ordinate passante per A

a)

\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}

\frac{y-1}{2-1}=\frac{x-4}{-1-4}

y-1=-\frac{x-4}{5}

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Francesco scrive: aiuto matematica

Oggetto: aiuto matematica

Corpo del messaggio:
1. stabilisci per quale valore di a le due rette 4x+(a-1)y=0 e 2ax+2(a-1)y+1=0 risultano: parallele e perpendicolari

Risposta dello staff

Affinchè siano parallele devono essere uguali i due coefficienti angolari quindi:

-\frac{4}{a-1}=-\frac{2a}{2(a-1)}

Se a=1, le due rette sarebbero: x=0 e x=-\frac 12, per cui sarebbero parallele tra loro e rispetto all’asse delle y.

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Alessandro scrive: Parallelismo tra rette

Oggetto: Parallelismo tra rette

Corpo del messaggio:
Dato il triangolo ABC, conduci dal vertice B la parallela alla bisettrice dell’angolo in A e sia D il punto in cui tale parallela interseca il prolungamento del lato AC. Dimostra che è AB=DA.

Risposta dello staff

triangolo parallela bisettrice

 

Risposta dello staff

Essendo AH la bisettrice dell’angolo A avremo che:

\widehat{CAH}=\widehat{BAH}

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Alessandra scrive: le rette tangenti da un punto esterno

Oggetto: le rette tangenti da un punto esterno

Corpo del messaggio:
scrivi l’equazione delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x^2+y^2-6x-4y+9=0 condotte dal punto P(9,0)

 

Risposta dello staff

Il punto P è esterno alla circonferenza. Prendiamo il fascio di rette passante per il punto P:

y=mx+q

0=9m+q

q=-9m

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Kristina scrive: Fascio di rette

Oggetto: Fascio di rette

Corpo del messaggio:
Salve, ho bisogno di aiuto perche non riesco a capire come si derermina il senso di rotazione di un fascio di rette e poi c’e questo quesito che non sono capace di risolvere da sola: Stabilisci per quali valori di k le rette del fascio dato intersecano il segmento di estremi A(1;6) e B(4;5). Il fascio e (2+k)x-(1+k)y-5-k. Grazie mille per la vostra attenzione. Saluti

 

Risposta dello staff

Riscriviamo la retta in questo modo:

2x+kx-y-ky-5-k=0

da cui:

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Conny scrive: Esercizio sulla retta

Oggetto:

Corpo del messaggio:
considera il punto A(3;4) e la retta r  di equazione y=1/3x. Dopo aver verificato che il punto A non appartiene ad r, scrivi l’equazione della retta OA.
Successivamente, determina, rispettivamente sulla retta OA e su r , due punti P e Q aventi la stessa ordinata, in modo che sia 18 la misura del segmento PQ

Risposta dello staff

 

Per verificare che il punto A non appartiene alla retta, basterà vedere se è verificata l’identità sostituendo le coordinate di A nella retta e quindi:

4=\frac 13 \cdot 3

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Corrado scrive: Esercizio sulla retta

Oggetto:

Corpo del messaggio:
Sono date le rette r e s rispettivamente di equazioni y=1/2x e y=2x.
Nel primo quadrante, determina un punto P di r e un punto Q di s in modo che l’ascisse di P sia la metà dell’ascisse di Q e che PQ= alla radice di 53

Risposta dello staff

Sappiamo che un generico punto P avrà coordinate:

P(x,\frac 12x)

e un generico punto Q:

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Beatrice scrive: retta

Oggetto: retta

Corpo del messaggio:

IMG-20140822-WA0001

 

Risposta dello staff

Ricaviamo subito la retta passante per A e B.

r: \, \,  \frac {y-y_A}{y_B-y_A}=\frac {x-x_A}{x_B-x_A}

r:  \, \,  \frac {y-1}{-1-1}=\frac {x+2}{6+2}

r:  \, \,  \frac {y-1}{-2}=\frac {x+2}{8}

r:  \, \, 4y-4=-x-2

r:  \, \, x+4y-2=0

Ora, sappiamo che il punto C passerà per la retta perpendicolare alla retta passante per A e B nel suo punto medio.

Calcoliamo quindi le sue coordinate:

M(2,0).

Sapendo che la retta passante per M e C sarà del tipo:

4x-y+c=0

Avremo:

8+c=0

c=-8

da cui:

y=4x-8

Quindi, C avrà coordinate:

C(x; 4x-8)

Sapendo che la lunghezza del segmento AB è:

AB=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}

e che l’altezza MC è:

MC=\sqrt{x-2)^2+(4x-8)^2}=\sqrt{(x-2)^2+16(x-2)^2}=\sqrt{17(x-2)^2}

avremo:

\frac 12 (AB \cdot MC) =\frac {85}{2}

\sqrt{68} \cdot \sqrt{17 (x-2)^2}=85

34(x-2)= \pm 85

x-2= \pm \frac {5}{2}

x_1= \frac 92

x_2= -\frac 12

da cui:

y_1=10

y_2=-10.

Il raggio della circonferenza inscritta sarà dato dalla formula:

r=\frac{2A}{2p}

Quindi, sapendo l’area ci servirà calcolare il perimetro. Calcoliamo la lunghezza del lato del triangolo:

AC=\sqrt{ \frac {9}{4}+121}=\frac 12 \sqrt{493}

Quindi, sapendo l’area, ricaviamo subito:

r=\frac {2 \cdot \frac {85}{2}}{ \sqrt {493}+\sqrt{68}}

r=\frac{85 (\sqrt{493} - \sqrt{68})}{493-68}=\frac{\sqrt{493} - \sqrt{68}}{5}

 

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Pina scrive: Problema con il quadrato

Oggetto: quadrato con lato = 5a

Corpo del messaggio:
un quadrato ha lato = 5a, una retta lo divide in due rettangoli di dimensioni diverse; il perimetro di uno è i 3/2 del perimetro dell’altro. Calcolare le due aree.

quadrato con retta

Risposta dello staff

Dalla divisione della retta, ponendo AE=x, avremo che:

2p_{AEFD}=x+5a+x+5a=2x+10a

2p_{EBCF}=5a-x+5a+5a-x+5a=20a-2x

Sapendo le proporzioni tra i perimetri otteniamo:

2x+10a=\frac 32 \left(20a-2x\right)

2x+10a=30a-3x

5x=20a

x=4a

Ovviamente si poteva optare di scegliere come incognita l’altro lato, avendo come risultato x=a.

 

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Stefania scrive: Esercizio sulle rette

Oggetto:

Corpo del messaggio:
Determina per quale valore di k le rette
(k + 1) x + y – 4 = 0 e kx + (k – 1) y + 2 = 0
si intersecano sull’asse delle ordinate.

Questo esercizio è nel capitolo dei sistemi lineari, quindi dovrei risolverlo con quelli.
Grazie mille in anticipo!

 

Risposta dello staff

L’intersecarsi sull’asse delle ordinate implica che il punto è sicuramente del tipo P(0;y).

Di conseguenza andiamo a risolvere il sistema per trovare l’intersezione:

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Valentina scrive: Problema con incognita

Oggetto: Problema con incognita.

Corpo del messaggio:
E’ data la semicirconferenza di diametro AB lungo 20 cm. Preso sulla semicirconferenza un punto Q, prolunga AQ in modo che incontri la tangente alla semicirconferenza passante per B nel punto T. Siano R e H rispettivamente le proiezioni di Q su TB e su AB.
a) Determina AQ sapendo che:
10 QR + 3 AQ = 120.
b) Trova il rapporto di similitudine tra i triangoli QTR e QBR.

Grazie.

 Risposta dello staff

semicirconferenza con tangente

Dalla costruzione sapiamo che QR=HB.

Sappiamo anche che, per costruzione, AQB è rettangolo perchè è inscritto in una semicirconferenza.

Quindi, sia:

AQ=x

AQB e AQH sono simili, e quindi avremo che:

AH:AQ=AQ:20

AH=\frac {x^2}{20}

HB=QR=AB-AH=20-\frac {x^2}{20}

sostituendo il tutto nell’equazione data otteniamo:

10(20-\frac {x^2}{20})+3x=120

200-\frac {x^2}{2}+3x=120

x^2-6x-160=0

(x-16)(x+10)=0

Da cui le due soluzioni:

x=16

o

x=-10

cn quest’ultima non accettabile.

2) Per ricavare il rapporto tra i due triangoli notiamo che nel rapporto delle due aree:

r= \frac {A_{QRT}}{A_{QBR}}=\frac {\frac {QR \cdot RT}{2}}{\frac {QR \cdot RB}{2}}=\frac {RT}{RB}

Ma notiamo che QH=RB e quindi, notando che AQH e QRT sono simili avremo che:

\frac {RT}{QH}=\frac {RQ}{AH}=\frac {HB}{AH}=0,5625

dato che AH=12,8 \mbox{ dm}

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Alessandro scrive: Fasci di rette

Oggetto: Fasci di rette

Corpo del messaggio:

img062

 

 

a)

kx-(k-2)y+4k-6=0

kx-ky+2y+4k-6=0

k(x-y+4)+2y-6=0

Le due rette generatrici saranno:

x-y+4=0 e y=3

Il centro del fascio sarà:

C(-1;3)

Per capire il verso, basta trovare il valore di k per il passaggio della retta per l’origine. Sapendo che, per k=0, avremo y=3, ed essendo, in questo caso, k=\frac 32, allora il senso sarà orario all’aumentare di k.

b) (2k-1)x-ky-8k+2=0

2kx-x-ky-8k+2=0

k(2x-y-8)-x+2=0

Le due rette generatrici saranno:

2x-y-8=0 e x=2.

Il centro del fascio sarà:

C(2;-4)

Per capire il verso, basta trovare il valore di k per il passaggio della retta per l’origine. Sapendo che, per k=0, avremo x=2, ed essendo, in questo caso, k=\frac 14, allora il senso sarà antiorario all’aumentare di k.

c)

(3-k)x+(k+1)y+4k-8=0

3x-kx+ky+y+4k-8=0

k(-x+y+4)+3x+y-8=0

Le due rette generatrici saranno:

-x+y+4=0 e 3x+y-8=0

Il centro del fascio sarà, sviluppando il sistema:

C(3;-1)

Troviamo 2 punti particolari per capire il valore di k; se passa per l’origine, avremo k=2. Se passa per il punto (3;0), avremo k=-1. Di conseguenza il senso sarà antiorario.

 

d)

ky+2=(k-1)x

ky+2=kx-x

k(y-x)+x+2=0

Le due rette generatrici saranno:

y=x e x=-2

Il centro del fascio sarà:

C(-2;-2)

Per capire il verso, basta trovare il valore di k per il passaggio della retta per un particolare punto, in questo caso (-1,0). Sapendo che, per k=0, avremo x=-2, ed essendo, in questo caso, k=-1, allora il senso sarà antiorario all’aumentare di k.

e)

Questo sarà un fascio improprio in quanto, dividendo tutto per k, ipotizzando che questo sia diverso da 0 otteniamo:

x+3y+\frac {1-k}{k}=0

ovvero un fascio di rette parallele!!!

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