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Cosimo scrive: Esercizio sui trapezi

Oggetto: N21

Corpo del messaggio:

image (4)

 

Risposta dello staff

trapezio isoscele semi circonferenza

Determinare la base maggiore AB=2x di un trapezio isoscele ABCD di perimetro di misura 6r circoscritto ad un semicerchio il cui raggio misura r.

Essendo un trapezio circoscritto ad una circonferenza, sappiamo che il lato obliquo risulta essere la metà della base maggiore e quindi:

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Cosimo scrive: Problema

Oggetto: N20

Corpo del messaggio:

image (3)

 

 

Risposta dello staff

Consideriamo il trapezio rettangolo AOCP. Tracciando la perpendicolare da P al lato AO, otteniamo il lato PH congruente ad OC.

Adesso, possiamo ricavare OH con il teorema di Pitagora, in quanto:

OH^2=OP^2-PH^2=r^2-x^2

Quindi avremo che:

AH=AO-OH=r-\sqrt{r^2-x^2}

Ricaviamo AP con il teorema di Pitagora:

AP^2=AH^2+HP^2=\left(r-\sqrt{r^2-x^2}\right)^2+x^2

Imponendo la condizione richiesta dall’esercizio otteniamo:

 

\left(r-\sqrt{r^2-x^2}\right)^2+x^2=\frac {2r^2}{9}

r^2-2r\sqrt{r^2-x^2}+r^2-x^2+x^2=\frac {2r^2}{9}

2r^2-\frac {2r^2}{9}=2r\sqrt{r^2-x^2}

r-\frac {r}{9}=\sqrt{r^2-x^2}

\frac 89 r=\sqrt{r^2-x^2}

\frac {64}{81}r^2=r^2-x^2

x^2=r^2-\frac {64}{81}r^2

x^2=\frac {17}{81}r^2

x= \frac {\sqrt {17}}{9}r

Escludiamo la soluzione negativa, in quanto l’incognita rappresenta la misura di un lato.


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Valentina scrive: problema di geometria ad una incognita

Oggetto: problema di geometria ad una incognita.

Corpo del messaggio:
le diagonali di un trapezio rettangolo sono perpendicolari. sapendo che l’altezza è 6rad3 cm e la base maggiore è 12rad3 cm, determina la lunghezza delle diagonali.

 

Risposta dello staff

trapezio rettangolo (1)

Dai dati abbiamo che:

AD= 6\sqrt 3 \mbox{ cm}

DC=12\sqrt 3 \mbox{ cm}

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Maria Letizia scrive: Trapezio isoscele e teorema di Euclide

Oggetto: Trapezio isoscele e teorema di Euclide

Corpo del messaggio:
In un trapezio isoscele ciascuna diagonale è permendicolare al lato obliquo e ha lunghezza di 8 cm. Sapendo che l’altezza del trapezio è 4,8 cm, determina il perimetro del trapezio.

Grazie

 

Risposta dello staff

trapezio isoscele con diagonali (1)

 

Prendiamo in considerazione il triangolo rettangolo ADC.

Abbiamo che:

AH=4,8 \mbox{ cm}

AC=8\mbox{ cm}

Ponendo CH=x, otteniamo per il secondo teorema di Euclide:

DH=\frac {AH^2}{x}=\frac {23,04}{x}

DC=x+\frac {23,04}{x}

Per il primo teorema di Euclide sappiamo che:

AC^2=CH \cdot CD

x(x+\frac {23,04}{x})=64

x^2+23,04=64

x^2=40,96

x=6,4 \mbox{ cm}

Avremo quindi:

CH=6,4 \mbox{ cm}

DH=3,6 \mbox{ cm}

Ricaviamo AD sempre con Euclide:

AD=\sqrt{DH \cdot DC}=\sqrt{36} \mbox{ cm}=6 \mbox{ cm}

AB=DC-2DH=(10-7,2) \mbox{ cm}=2,8 \mbox{ cm}

2p=AB+BC+CD+DA=(2,8+6+10+6) \mbox{ cm}=24,8 \mbox{ cm}


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Leo scrive: Problema con un trapezio

Oggetto: PROBLEMA

Corpo del messaggio:
LA DIFFERENZA TRA IL LATO OBBLIQUO E L ‘ ALTEZZA DI  UN TRAPEZIO RETTANGOLO MISURA 2 CM E L ‘ALTEZZA è I SEI SETTIMI DEL LATO OBBLIQUO.
Considerando che l aria del trapezio misura 204 cm quadrati e che il rapporto tra le basi è pari a otto noni .Calcola il perimetro del trapezio .

Risultato:60 cm

 

Risposta dello staff

Dai dati avremo che:

l-h=2 \mbox { cm}

h= \frac 67 l

\frac B b =9

Dalle prime due equazioni calcoliamo i due lati:

l-\frac 67 l = 2 \mbox { cm}

\frac 17 l= 2 \mbox { cm}

l=14\mbox { cm}

h=12\mbox { cm}

Sappiamo che l’area del trapezio è 204 \mbox { cm}^2 e quindi:

\frac {(B+b) \cdot h}{2}=204

\frac {(B+b) \cdot 12}{2}=204

(B+b) \cdot 6=204

B+b=34 \mbox { cm}

Senza bisogno di calcolare la lunghezza delle singole basi calcoliamo il perimetro:

2p=B+b+l+h=(34+12+14)\mbox { cm}=60\mbox { cm}

 


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Simona scrive: Problemi

Oggetto: problemi

Corpo del messaggio:
1)il perimetro di un trapezio rettangolo è lungo 48 cm .L’altezza misura 6 cm e il lato obbliquo 8 cm .Calcola l ‘ area.
2) calcola l ‘area di un trapezio sapendo che la base maggiore misura 40,5 cm che la base minore equivale ai QUATTRO NONI DI QUELLA MAGGIORE E CHE L ‘altezza equivale ai 3 decimi della base minore.
3) L’area di un trapezio isoscele misura 100 cm quadrati ,la base minore è i tre settimi della base maggiore,il lato obbliquo  misura 12 cm calcola il perimetro usando le proporzioni , l’ altezza è di 10 cm .

 

Risposta dello staff

1)

Sapendo altezza e lato obliquo, ricaviamo la somma delle due basi:

B+b=2p-l-h=(48-6-8)\mbox { cm}=34\mbox { cm}

Sapendo la somma delle basi, calcoliamo l’area:

A= \frac {(B+b) \cdot h}{2}= \frac {34 \cdot 6}{2}\mbox { cm}^2=102 \mbox { cm}^2

 

2)

Calcoliamo subito la base minore:

b= \frac 49 B=\frac 49 40,5 \mbox { cm}=18\mbox { cm}

Calcoliamo l’altezza:

h=\frac {3}{10}b=\frac {3}{10}18 \mbox { cm}=5,4 \mbox { cm}

L’area sarà:

A=\frac {(b+B) \cdot h}{2}=\frac {(40,5+18) \cdot 5,4}{2}\mbox { cm}^2=157,95 \mbox { cm}^2

3)

Dai dati avremo che:

A=\frac {(B+b) \cdot h}{2}=100 \mbox { cm}^2

E, sapendo che l’altezza vale 10, allora:

B+b=20 \mbox { cm}

Calcoliamo il perimetro:

2p=B+b+2l=(20+24)\mbox { cm}=44\mbox { cm}


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Simona scrive: Problema

Oggetto: problema

Corpo del messaggio:
Un triangolo isoscele di perimetro 338
cm e area 4680 cm  quadrati  ha l altezza relativa alla base lunga 65 cm
Quanto misura ciascuno dei lati uguali?

 

Risposta dello staff

 

Sapendo l’area e l’altezza, ricaviamo subito la base:

b=\frac {2A}{h}=\frac {9360}{65} \mbox { cm}=144\mbox { cm}

Avendo la base, ricaviamo la lunghezza dei 2 lati ricavandolo dal perimetro:

l=\frac {2p-b}{2}=\frac {338-144}{2}\mbox { cm}=97\mbox { cm}.

 

 


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Vincenzo scrive: Verifica di Matematica

Oggetto:

Corpo del messaggio:

IMG-20140108-WA0002

 

 

1) y=2x^2+x-1

Calcoliamo quello che ci serve:

V\left( -\frac {b}{2a}; -\frac {\Delta}{4a}\right) \rightarrow V \left( -\frac 14 ; -\frac {9}{8}\right)

F\left( -\frac {b}{2a};\frac {1-\Delta}{4a}\right) \rightarrow F \left( -\frac 14 ; -1\right)

Asse di simmetria: x=-\frac {b}{2a} \rightarrow x=-\frac 14

Direttrice: y=-\frac {1-\Delta}{4a} \rightarrow y=1

Intersezioni con gli assi (ottenute sostituendo 0 alle incognite):

A(0;-1)

B(-1;0)

C(\frac 12;0)

2) Avendo l’asse di simmetria parallelo all’asse y avrà equazione:

x=ay^2+by+c

Verifichiamo le condizioni di passaggio per i 3 puni:

A(1,4) \rightarrow 1=16a+4b+c

B(-2,-5) \rightarrow -2=25a-5b+c

C(0,3) \rightarrow 0=9a+3b+c

Mettiamo tutto a sistema e otteniamo:

    \[\begin{cases} 16a+4b+c=1 \\ 25a-5b+c=-2 \\ 9a+3b+c=0 \end{cases}\]

Eseguendo la sottrazione tra la prima e la seconda e la prima e la terza otteniamo:

    \[\begin{cases}  -9a+9b=3 \\ 7a+b=1 \\ 9a+3b+c=0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} -3a+3b=1 \\ b=1-7a \\ c=-9a-3b \end{cases}\]

    \[\begin{cases}  -3a+3(1-7a)=1 \\ b=1-7a \\ c=-9a-3b \end{cases}\]

    \[\begin{cases}  -3a+3-21a=1 \\ b=1-7a \\c=-9a-3b \end{cases}\]

    \[\begin{cases}  24a=2 \\ b=1-7a \\ c=-9a-3b \end{cases}\]

    \[\begin{cases}  a=\frac {1}{12} \\ b=1-7 \frac {1}{12} \\ c=-9a-3b \end{cases}\]

    \[\begin{cases}  a=\frac {1}{12} \\ b= \frac {5}{12} \\ c=-\frac {9}{12}-\frac {15}{12} \end{cases}\]

    \[\begin{cases}  a=\frac {1}{12} \\ b= \frac {5}{12} \\ c=-2 \end{cases}\]

L’equazione sarà quindi:

x=\frac {1}{12}y^2+\frac {5}{12}y-2

3)Per trovare la retta x+y=k tangente alla parabola y=1-x^2 bisognerà metterle a sistema e imporre che il \Delta sia uguale a 0.

Avremo quindi:

    \[\begin{cases} x+y=k \\ y=1-x^2\end{cases}\]

    \[\begin{cases} y=k-x \\ x^2-x+k-1=0\end{cases}\]

\Delta=1-4(k-1)=1-4k+4=5-4k

Affinchè quindi la retta sia tangente deve verificarsi che k=\frac 54, e la retta tangente sarà:

    \[x+y=\frac 54.\]

 

4) y=(k+1)x^2-3kx-4

 

  • Affinchè passi per P(-1,1) basterà sostituire le coordinate del punto nell’equazione così da ottenere:

1=k+1+3k-4

4k=4

k=1

  • Affinchè abbia il fuoco nel punto di ascissa 3, deve verificarsi che: -\frac {b}{2a}=3, da cui:

-\frac {-3k}{2(k+1)}=3

3k=6k+6

3k=-6

k=-2

 

 


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Angela scrive: problema di geometria

Oggetto: problema

Corpo del messaggio:
in un trapezioisoscele gli angoli adiacenti alla base maggiore hanno l ampiezza di 60 e la base maggiore supera di 4 m i 7/5della minore.trova le lunghezze dei lati sapendo che si ottengono i 4/3 del lato quando si sottraggono4m dalla base minore

 

trapezioisoscele

 

 

Dalla traccia avremo:

AB=4+\frac 75DC

DC-4=\frac 43 BC

Poniamo BC=x, così avremo:

DC=4+\frac 43 x

Per costruzione sappiamo che

BH=\frac 12 BC=\frac 12 x

Di conseguenza avremo che:

AB=BH+DC+BH=\frac 12x + 4+ \frac 43 x + \frac 12 x=4+\frac 73x

Sappiamo anche però che:

AB=4+ \frac 75 DC= 4+ \frac 75(4+\frac 43x)

Uguagliano le due otteniamo:

4+ \frac 75(4+\frac 43x)=4+\frac 73x

\frac {28}{5}+ \frac {28}{15}x=\frac 73x

84+28x=35x

7x=84

x=12

Da cui:

BC=AD=12 \mbox { m }

DC =20 \mbox { m }

AB=32 \mbox { m }

 

 


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