Cosimo scrive: Esercizio sui trapezi

Oggetto: N21

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Determinare la base maggiore $AB=2x$ di un trapezio isoscele ABCD di perimetro di misura $6r$ circoscritto ad un semicerchio il cui raggio misura r.

Essendo un trapezio circoscritto ad una circonferenza, sappiamo che il lato obliquo risulta essere la metà della base maggiore e quindi:

$AD=BC=x$

Ora, tracciando l’altezza, che equivale al raggio della semicirconferenza, dal vertice della base minore, otteniamo il triangolo equilatero ADH, e con il teorema di Pitagora ricaviamo AH:

$AH=\sqrt{x^2-r^2}$

Ora abbiamo tutto, poichè la base minore sarà:

$CD=AB-2AH=2x-2\sqrt{x^2-r^2}$

Calcoliamo il perimetro e otteniamo:

$2x+x+2x-2\sqrt{x^2-r^2}+x=6r$

$6x-2\sqrt{x^2-r^2}=6r$

$3x-3r=\sqrt{x^2-r^2}$

$9x^2-18rx+9r^2=x^2-r^2$

$8x^2-18rx+10r^2=0$

$4x^2-9rx+5r^2=0$

$x_{\frac 12}=\frac {9r \pm \sqrt{81-80}r}{8}=\frac {9r \pm r}{8}$

$x_1=r$

$x_2=\frac 54r$

Di conseguenza avremo:

$AB=2r$ oppure $AB=\frac 52 r$

Nella prima soluzione il lato coinciderebbe con il diametro della semicirconferenza e non avremmo più un trapezio isoscele ma un rettangolo.

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