Archivi tag: esercizi

Cosimo scrive: Esercizio sui trapezi

Oggetto: N21

Corpo del messaggio:

image (4)

 

Risposta dello staff

trapezio isoscele semi circonferenza

Determinare la base maggiore AB=2x di un trapezio isoscele ABCD di perimetro di misura 6r circoscritto ad un semicerchio il cui raggio misura r.

Essendo un trapezio circoscritto ad una circonferenza, sappiamo che il lato obliquo risulta essere la metà della base maggiore e quindi:

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Flo scrive: Problema

Oggetto: problema

Corpo del messaggio:
un signore ha acquistato 3 cravatte spendendo in tutto 67euro.Sapendo che la seconda cravatta costa 2.50piu’della prima e la terza3.50 in piu’ della seconda, calcola il prezzo di ogni cravatta.

 

Chiamiamo con x,y e z i prezzi delle 3 cravatte.

 

Sappiamo che:

    \[x+y+z=67€\]

    \[y= 2,5 € + x\]

    \[z=3,5 € + y\]

Avremo quindi che:

    \[z=3,5€+2,5€+x=6€+x\]

Sostituendo tutto nell’equazione iniziale otteniamo:

    \[x+2,5€+x+6€+x=67\]

    \[3x=58,5€\]

    \[x=19,5\]

da cui:

    \[y=22 €\]

    \[z=25,5 €\]

 

 

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Susanna scrive: Equazioni secondo grado

Oggetto: Equazioni secondo grado

Corpo del messaggio:
Sono solo gli esercizi segnati con il cerchio, ho provato a farli ma i risultati non danno!

Grazie in anticipo

image (4)

 

  • Affinchè l’equazione abbia radice uguale a \sqrt 2, basterà sostituire questo valore all’incognita e verificare quali siano i valori della a.

    \[2+\sqrt 2\left(a-2)\sqrt 2+a^2-3a-4=0\]

    \[2+2a-4+a^2-3a-4=0\]

    \[a^2-a-6=0\]

    \[(a-3)(a+2)=0\]

    \[a_1=3\]

    \[a_2=-2\]

  • Nel secondo esercizio, affinchè le due radici siano distinte, deve verificarsi che il delta sia strettamente positivo:

    \[\Delta >0\]

    \[16m^2-4(2m)(-4m-1)>0\]

    \[16m^2+32m+8m>0\]

    \[48m^2+8m>0\]

    \[m(6m+1)>0\]

Avendo l’equazione associata due soluzioni, ed essendo la disequazione maggiore di 0, possiamo subito dire che la disequazione sarà verificata per:

    \[m<-\frac 16 \quad \lor \quad m>0\]

  • Nel terzo esercizio, affinchè le due radici siano coincidenti, deve verificarsi che il delta sia nullo.

    \[\Delta=0\]

    \[(1-k)^2-4(k+1)(k-1)=0\]

    \[k^2-2k+1-4k^2+4=0\]

    \[-3k^2-2k+5=0\]

    \[3k^2+2k-5=0\]

    \[k_{\frac 12}=\frac {-2\pm \sqrt {4+60}}{6}=\frac {-2\pm \sqrt {64}}{6}=\frac {-2\pm 8}{6}\]

    \[k_1=-\frac 53\]

    \[k_2=1\]

Dobbiamo però escludere la soluzione k=1, in quanto, sostituendola nell’equazione iniziale, questa perderebbe di significato, perchè annullerebbe il coefficiente della x^2.

 

 

 

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Nicolo scrive: Esercizi sistema di disequazioni

Oggetto:

Corpo del messaggio:

 

\begin{cases}  \frac{x+3-\sqrt{x^2+x}}{x^3+x^2-x-1} \ge 0\\  \frac{\sqrt{16-x^2}+2}{\left|x\right| - \left|x+3\right|} < 0  \end{cases}

 

Risposta dello staff

Analizziamo pezzo per pezzo:

x+3- \sqrt{x^2+x} \geq 0

 \sqrt{x^2+x} \leq x+3

\begin{cases} x^2+x \geq 0 \\ x+3 \geq 0 \\ x^2+x \leq x^2+6x+9\end{cases}

\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ x \geq -3 \\ 5x+9\geq 0\end{cases}

\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ x \geq -3 \\ x\geq -\frac 95\end{cases}

Quindi, il numeratore della prima disequazione è positivo per

-\frac 95 \leq x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0

e negativo per

x < -\frac 95.

Prendiamo il primo denominatore:

x^3+x^2-x-1 >0

x^2(x+1)-(x+1)>0

(x^2-1)(x+1)>0

(x+1)^2(x-1)>0

Quindi sarà positivo per:

x > 1

negativo per

x<1 \quad \mbox { con} x \neq -1

andando a fare il grafico otteniamo che la prima disequazione è verificata per:

x \leq -\frac 95 \quad \lor \quad x>1.

Nel secondo sistema ci si accorge subito che il numeratore, ove verificata l’esistenza del radicando è sempre positivo, mentre il denominatore:

\left|x\right| - \left|x+3\right|>0

dobbiamo dividerlo in 3 sistemi:

    \[\begin{cases} x< -3 \\ -x +x+3>0\end{cases} \quad \begin{cases} -3 \leq x< 0 \\ -x -x-3>0\end{cases} \quad \begin{cases} x>0 \\ x-x-3>0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x< -3 \\ 3>0\end{cases} \quad \begin{cases} -3 \leq x< 0 \\   x < -\frac 32 \end{cases} \quad \begin{cases} x>0 \\ -3>0\end{cases}\]

che darà come risultati:

    \[x<-\frac32.\]

Questa, intersecata alla soluzione del numeratore -4 \leq x \leq 4, fa si che la seconda disequazione sia verificata per:

    \[-\frac 32 <x\leq 4\]

Quindi, il sistema iniziale diventerà:

    \[\begin{cases} x \leq -\frac 95 \quad \lor \quad x>1  \\ -\frac 32 <x\leq 4\end{cases}\]

che ammetterà come soluzione

1<x\leq 4

 

 

 

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Samuele scrive: Esercizio sul valore assoluto

Oggetto: Equazioni con valore assoluto

Corpo del messaggio:

1)\frac { \left|2x^2-3x+1\right|}{x-2}=1

 

Risposta dello staff

Imponendo che x \neq 2, otteniamo:

\left|2x^2-3x+1\right|=x-2

Quindi avremo da risolvere due sistemi:

\begin{cases} 2x^2-3x+1=x-2 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} 2x^2-3x+1=2-x \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} 2x^2-4x+3=0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} 2x^2-2x-1=0\\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {4 \pm \sqrt {16-24}}{4} \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {2 \pm \sqrt {4+8}}{4} \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} \mbox { impossibile } \Delta <0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {2 \pm 2\sqrt {2}}{4} \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} \mbox { impossibile } \Delta <0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {2}}{2} \\ x < 2 \end {cases}

Il secondo sistema ammetterà ambedue le soluzioni, poichè \frac {1+\sqrt 2}{2}<2.

Quindi l’equazione avrà come soluzioni:

    \[x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {2}}{2}.\]

 

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Samuele scrive: Esercizio Equazioni di grado superiore al secondo

Uno studente scrive:

Oggetto: Equazioni di grado superiore al secondo

Corpo del messaggio:
a)(x^3-1)(x^2+6x)=0
b) x^2(x-6)=4(2-3x)
c) x^2(2x-3)=4(2x-3)

 

Risposta dello staff

a) Per svolgere questa equazione, utilizziamo la legge di annullamento del prodotto, e quindi analizziamo i due prodotti singolarmente, magari dopo averla scomposta ulteriormente:

(x^3-1)(x^2+6x)=(x-1)(x^2+x+1)

e

x^2+6x=x(x+6)

Quindi avremo:

x(x-1)(x^2+x+1)(x+6)=0

  • x=0
  • x=1
  • x^2+x+1 non ammetterà soluzioni poichè il \Delta<0
  • x=-6

 

 

b) Per capire meglio questa è necessario svolgere prima i calcoli:

x^2(x-6)=4(2-3x)

x^3-6x^2=8-12x

x^3-6x^2+12x-8=0

(x-2)^3=0

Questa ammetterà un’unica soluzione:

x=2

 

 

c) Per capire meglio questa è necessario svolgere prima i calcoli:

x^2(2x-3)=4(2x-3)

2x^3-3x^2=8x-12

2x^3-3x^2-8x+12=0

Utilizziamo Ruffini per scomporre e otteniamo:

2 -3 -8 12
2 4 2 -12
2 1 -6 0

da cui

(x-2)(2x^2+x-6)=0

(x-2)(2x-3)(x+2)=0

Quindi ammetterà come soluzioni:

  • x=2
  • x=\frac 32
  • x=-2

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Paolo scrive: Esercizio sulle proporzioni

Oggetto:

Corpo del messaggio:
se un kg di tonno costa 5.54 euro quanto mi costano gr 240?

 

 

Risposta dello staff

Per la risoluzione è necessario impostare una semplice proporzione

240 : 1000 = x : 5.54

240 grammi stanno ad un kilo come x sta a 5.54

da cui si ottiene

x= \frac{5.54*240}{1000}=1.3296

quindi 240 grammi di tonno costano 1.3296

 

ps

direi che il prezzo è interessante. puoi dirmi dove lo vendono? ahahhaha

 

 

 

 

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Esercizi sulle rette di geometria analitica

Abbiamo appena inserito alcuni esercizi svolti di geometria analitica sulle rette.

Come ogni volta vi chiediamo di inviarci suggerimenti o richieste di svolgimento di esercizi particolari tramite i form di contatto che trovate al lato ed in alto

Ultimi esercizi inseriti:

 

A presto

Lo staff di Matebook

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Noemi chiede: espressione con potenze con esponente razionale

Corpo del messaggio:

Avrei bisogno di capire come si risolve questa espressione con potenze con esponente razionale:
\frac {(2^{\frac 13}+3^{-\frac 13})}{(3^{-1}+2^{-\frac 2 3})} \, \cdot \,  \frac{6^{-1}}{(1+6^{-\frac 13})} (3+2^{\frac 23})
Grazie mille in anticipo 🙂

Bisogna innanzitutto trasformare tutte le potenze per rendere più facili i calcoli, ricordando che:

2^{\frac 13}= \sqrt[3] 2

3^{-\frac 13}=\frac {1}{\sqrt[3]3}=\frac {\sqrt[3]{3^2}}{3}

3^{-1}= \frac 13

2^{-\frac 2 3}=\frac {1}{ \sqrt[3] {2^2}}=\frac {\sqrt[3]2}{2}

6^{-\frac 13}=\frac {1}{\sqrt[3]6}=\frac {\sqrt[3]{6^2}}{6}

2^{\frac 23}= \sqrt[3] {2^2}=\sqrt[3] 4

Da qui avremo:

\frac {\sqrt[3]2+\frac {1}{\sqrt[3]3}}{\frac 13 + \frac {1}{\sqrt[3]4}} \cdot \frac {\frac 16}{1+\frac {1}{\sqrt[3]6}} \cdot (3+\sqrt[3]4)=

=\frac {\frac {\sqrt[3]6+1}{\sqrt[3]3}}{\frac {\sqrt[3]4+3}{3\sqrt[3]4}} \cdot \frac {\frac 16}{\frac {\sqrt[3]6+1}{\sqrt[3]6}} \cdot (3+\sqrt[3]4)=

=\frac {\sqrt[3]6+1}{\sqrt[3]3} \cdot \frac {3\sqrt[3]4}{\sqrt[3]4+3} \cdot \frac 16 \cdot \frac {\sqrt[3]6}{\sqrt[3]6+1} \cdot (3+\sqrt[3]4)=

Semplificando i fattori simili e ricordando che:

\frac {\sqrt[3]6}{\sqrt[3]3}=\sqrt[3]2,

avremo:

=\frac {3\sqrt[3]8}{6}=\frac {2}{2}=1.

 

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Equazione riducibile 2

Alessandro chiede la soluzione del seguente esercizio

 

4sen^2x+3tg^2x=12

 

Per svolgere questa equazione bisognerà prima eseguire la trasformazione:

tg x = \frac {senx}{cosx}

Da questa otteniamo l’equazione:

4sen^2x + \frac {3sen^2x}{cos^2x}=12

Troviamo il minimo comune multiplo, imponendo la condizione che:

cosx \neq 0,

ottenendo:

4sen^2xcos^2x + 3sen^2x-12cos^2x=0

Sapendo che:

sen^2x+cos^2x=1 \Rightarrow cos^2x=1-sen^2x, otterremo:

4sen^2x(1-sen^2x) + 3sen^2x-12(1-sen^2x)=0

4sen^2x-4sen^4x + 3sen^2x-12+12sen^2x=0

4sen^4x - 19sen^2x+12=0

sen^2x_{\frac 12}=\frac {19\pm \sqrt {361-192}}{8}

sen^2x_{\frac 12}=\frac {19\pm \sqrt {169}}{8}

sen^2x_{\frac 12}=\frac {19\pm 13}{8}

sen^2x_1=\frac {19- 13}{8}=\frac 34

sen^2x_2=\frac {19+ 13}{8}= 4

IMPOSSIBILE perchè 0 \leq sen^2x \leq 1

Risolvendo la prima, avremo quindi:

senx= \pm \frac {\sqrt 3}{2} \Rightarrow x=60^\circ+k180^\circ \quad \lor \quad x=120^\circ+k180^\circ.

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Maddalena scrive

Corpo del messaggio:
aggiungi 3 l prodotto di 5 e -4

 

Soluzione

Il problema sembra incompleto.

Vi consigliamo di postare interamente la traccia per evitare di risolvere problemi differenti.

 

Veniamo al quesito.

Sembra una semplice equazione da impostare

x = 3 + (5* (-4))

Chiaramente dovremo prima fare il prodotto e poi la somma

Quindi

x = 3 + (-20)

x = -17

 

 

 

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Esercizio proposto sui sistemi

Salve, avrei un problema quando risolto il sistema  mi trovo davanti questo :

\begin{cases} x<3a \\ x>5a \end{cases}

come si procede?
grazie

 

SOLUZIONE

Bisognerà distinguere casi differenti, in base al segno di a.

 

Se a>0, immaginatelo come un numero, che so, 5…. il sistema sarebbe questo:

\begin{cases} x<3 \cdot 5 \\ x>5 \cdot 5 \end{cases}

\begin{cases} x< 15 \\ x>25  \end{cases}

Si vede chiaramente che questo sistema è impossibile, senza bisogno di fare il grafico…

Stesso discorso dicasi per a=0, difatti avremmo:

\begin{cases} x< 0 \\ x>0  \end{cases},

anche questo impossibile…

Se invece fosse a<0, immaginate sia uguale a -1, otterremmo:

\begin{cases} x< -3 \\ x> -5  \end{cases}

che implica che la soluzione sia :

-5<x<-3;

generalizzando alla soluzione letterale, otteniamo la soluzione del sistema:

-5a<x<-3a.

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Damiano scrive

Corpo del messaggio:


non riesco a risolvere questa equazione

\frac {sin(\pi-\alpha)}{ 1-cos(\pi-\alpha)} - \frac {sin(-\alpha)}{ cos(\pi+\alpha)+1}.

Soluzione:

\frac 2 {sin(\alpha)}

Risposta:

Innanzitutto, devo precisare che questa non è una equazione, e che, stiamo pian piano inserendo tutti i vari esercizi di ogni genere; quindi, se magari nn trovate determinati esercizi in questo momento, fate un giro tra qualche giorno e magari troverete quel che cercate. Nel frattempo non esitate a chiedere qui consiglio che risolveremo i vostri problemi. Per quanto riguarda l’esercizio bisogna sfruttare alcune uguaglianze tra le funzioni nei vari quadranti:

  • sin (\pi-\alpha)=sin \alpha
  • cos (\pi-\alpha)= -cos \alpha
  • sin (-\alpha)=- sin \alpha
  • sin (\pi+\alpha)=-cos \alpha
Sfruttando queste uguaglianze e sostituendo otteniamo:

\frac {sin(\pi-\alpha)}{ 1-cos(\pi-\alpha)} - \frac {sin(-\alpha)}{ cos(\pi+\alpha)+1}

\frac {sin(\alpha)}{ 1+cos(\alpha)} - \frac {-sin(\alpha)}{- cos(\alpha)+1}

\frac {sin(\alpha)(1-cos(\alpha))+sin(\alpha)(1+cos(\alpha))}{(1+cos(\alpha))(1-cos(\alpha))}

\frac {sin(\alpha)-sin(\alpha)cos(\alpha)+sin(\alpha)+sin(\alpha)cos(\alpha)}{1-cos^2(\alpha)}

Ricrodandosi che: sin^2(\alpha)=1-cos^2(\alpha):

\frac {2sin(\alpha)}{sin^2(\alpha)}=\frac 2 {sin(\alpha)}.

CVD

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Fernando scrive

Oggetto:

 

Chiarimento su un tipo di sistema

Corpo del messaggio:

Salve, sono un po’ in difficoltà quando in un sistema trovo xy insieme e non so più continuare.
ad esempio: 2x + 3y – xy = 0
                        6x + 7y + 2xy = 4
Oppure potreste indicarmi qualche esercizio svolto simile a questo?

 

 

Allora vediamo un po’ come si può risolvere questo esercizio:

 \bigg \{ \begin{array}{ll} 2x + 3y - xy = 0 \\ 6x + 7y + 2xy = 4   \end{array}

Moltiplicando per 2 la prima e facendo la somma membro a membro possiamo subito ricavare una delle due incognite lasciando magari inalterata la prima:

 \bigg \{ \begin{array}{ll} 4x + 6y - 2xy = 0 \\ 6x + 7y + 2xy = 4   \end{array}

 \bigg \{ \begin{array}{ll} 2x + 3y - xy = 0 \\ 10x + 13y  = 4   \end{array}.

Dalla seconda ricaviamo la x e poi la sostituiamo nella prima in modo da avere poi un’equazione di secondo grado

 \bigg \{ \begin{array}{ll} 2 \cdot \frac {4-13y} {10} + 3y - \frac {4-13y} {10} y = 0 \\ x  = \frac {4-13y} {10}   \end{array}.

Senza riscrivere tutto il sistema risolviamo solo la prima equazione:

\frac {8-26y+30y-4y+13y^2}{10}=0

13y^2+8=0

Essendo questa un’equazione di secondo grado impossibile, questo sistema non ammetterà soluzione.

Per eventuali altre soluzioni, non c’è un modo sicuramente giusto o uno sicuramente sbagliato; bisogna sapersi adattare alla situazione, perchè, in genere, tutti i metodi portano alla soluzione, solo che alcuni, per così dire, sono “più giusti” di altri…

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