Nicolo scrive: Esercizi sistema di disequazioni

Oggetto:

Corpo del messaggio:

 

\begin{cases}  \frac{x+3-\sqrt{x^2+x}}{x^3+x^2-x-1} \ge 0\\  \frac{\sqrt{16-x^2}+2}{\left|x\right| - \left|x+3\right|} < 0  \end{cases}

 

Risposta dello staff

Analizziamo pezzo per pezzo:

x+3- \sqrt{x^2+x} \geq 0

 \sqrt{x^2+x} \leq x+3

\begin{cases} x^2+x \geq 0 \\ x+3 \geq 0 \\ x^2+x \leq x^2+6x+9\end{cases}

\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ x \geq -3 \\ 5x+9\geq 0\end{cases}

\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ x \geq -3 \\ x\geq -\frac 95\end{cases}

Quindi, il numeratore della prima disequazione è positivo per

-\frac 95 \leq x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0

e negativo per

x < -\frac 95.

Prendiamo il primo denominatore:

x^3+x^2-x-1 >0

x^2(x+1)-(x+1)>0

(x^2-1)(x+1)>0

(x+1)^2(x-1)>0

Quindi sarà positivo per:

x > 1

negativo per

x<1 \quad \mbox { con} x \neq -1

andando a fare il grafico otteniamo che la prima disequazione è verificata per:

x \leq -\frac 95 \quad \lor \quad x>1.

Nel secondo sistema ci si accorge subito che il numeratore, ove verificata l’esistenza del radicando è sempre positivo, mentre il denominatore:

\left|x\right| - \left|x+3\right|>0

dobbiamo dividerlo in 3 sistemi:

    \[\begin{cases} x< -3 \\ -x +x+3>0\end{cases} \quad \begin{cases} -3 \leq x< 0 \\ -x -x-3>0\end{cases} \quad \begin{cases} x>0 \\ x-x-3>0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x< -3 \\ 3>0\end{cases} \quad \begin{cases} -3 \leq x< 0 \\   x < -\frac 32 \end{cases} \quad \begin{cases} x>0 \\ -3>0\end{cases}\]

che darà come risultati:

    \[x<-\frac32.\]

Questa, intersecata alla soluzione del numeratore -4 \leq x \leq 4, fa si che la seconda disequazione sia verificata per:

    \[-\frac 32 <x\leq 4\]

Quindi, il sistema iniziale diventerà:

    \[\begin{cases} x \leq -\frac 95 \quad \lor \quad x>1  \\ -\frac 32 <x\leq 4\end{cases}\]

che ammetterà come soluzione

1<x\leq 4

 

 

 

(Questa pagina è stata visualizzata da 82 persone)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *