Nicolò scrive: Esercizio sistemi di disequazioni

Oggetto: sistemi di disequazioni

Corpo del messaggio:

  • \begin{cases} \frac {x-2}{x+3}\geq 0\\ 7+2x>-\frac {x^2}{7} \end{cases}
  • \begin{cases} (x+1)^2 \leq 16 \\ x(x-7) \geq 4(5-2x)\end{cases}

 

Risolviamo il primo sistema:

 

\begin{cases} \frac {x-2}{x+3}\geq 0\\ 7+2x>-\frac {x^2}{7} \end{cases}

Per la prima disequazione discutiamo numeratore e denominatore ottenendo:

  • x-2 \geq 0 \iff x \geq 2
  • x+3 >0 \iff x>-3

Avremo quindi:

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x^2+14x +49 >0 \end{cases}

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ (x+7)^2 >0 \end{cases}

La seconda disequazione è verificata sempre a meno di x=7.

Avremo quindi:

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x \neq 7 \end{cases}

Che risulterà anche essere la soluzione del sistema iniziale:

    \[x<-3 \quad \lor \quad x \geq 2 \mbox { con  } x \neq 7.\]

 

Secondo sistema:

\begin{cases} (x+1)^2 \leq 16 \\ x(x-7) \geq 4(5-2x)\end{cases}

Sulla prima sfruttiamo una particolarità delle disequazioni di secondo grado, ovvero:

y^2 \leq a^2 \iff -a \leq y \leq a, così da avere:

\begin{cases} -4 \leq x+1 \leq 4 \\ x^2-7x \geq 20-8x\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ x^2+x-20 \geq 0\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ (x-4)(x+5) \geq 0\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ x \leq -5 \quad x \geq 4\end{cases}

Come notiamo dalle soluzioni, questo sistema ammette come soluzione solo x=-5

 

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