Esercizio 1 Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo

Traccia

\begin{cases}  x^2+y^2=29 \\ xy=-10 \end{cases}

Svolgimento

Per risolvere questo sistema bisogna prima di tutto ricondurlo in una forma particolare ricordando che:

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy,

da cui avremo:

\begin{cases}  (x+y)^2-2xy=29 \\ xy=-10 \end{cases}

Sostituendo ora il valore di xy otteniamo:

\begin{cases}  (x+y)^2+20=29 \\ xy=-10 \end{cases}

\begin{cases}  (x+y)^2=9 \\ xy=-10 \end{cases}

\begin{cases}  x+y=\pm3 \\ xy=-10 \end{cases}

Quindi avremo:

\begin{cases}  x+y=-3 \\ xy=-10 \end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases}  x+y=3 \\ xy=-10 \end{cases}

che ammetteranno le due equazioni:

z^2+3z-10=0 \qquad \lor \qquad z^2-3z-10=0

che daranno come soluzioni:

z_1= -5 \quad \lor \quad z_2=2 \quad la prima equazione e

z_3= 5 \quad \lor \quad z_4=-2 \quad la seconda equazione.

Le 4 coppie di soluzioni saranno:

(-5,2); (2,-5);(5,-2);(-2,5).

 

 

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