Esercizio 3 Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo

Traccia

\begin{cases}  x^2+y^2=\frac 52 \\ xy=\frac 34 \end{cases}

Svolgimento

Per risolvere questo sistema bisogna prima di tutto ricondurlo in una forma particolare ricordando che:

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy,

da cui avremo:

\begin{cases}  (x+y)^2-2xy=\frac 52 \\ xy=\frac 34 \end{cases}

Sostituendo ora il valore di xy otteniamo:

\begin{cases}  (x+y)^2-\frac 32=\frac 52 \\ xy=\frac 34 \end{cases}

\begin{cases}  (x+y)^2=4 \\ xy=\frac 34 \end{cases}

\begin{cases}  x+y=\pm 2 \\ xy=\frac 34 \end{cases}

Quindi avremo:

\begin{cases}  x+y=-2 \\ xy=\frac 34 \end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases}  x+y=2 \\ xy=\frac 34 \end{cases}

che ammetteranno le due equazioni:

z^2+2z+\frac 34=0 \qquad \lor \qquad z^2-2z+\frac 34=0

che daranno come soluzioni:

z_1= -\frac 32 \quad \lor \quad z_2=-\frac12 \quad la prima equazione e

z_3= \frac12 \quad \lor \quad z_4= \frac32 \quad la seconda equazione.

Le 4 coppie di soluzioni saranno:

(-\frac32,-\frac12); (-\frac12,-\frac32);(\frac12,\frac32);(\frac32,\frac12).

 

 

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