Esercizio 6 Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo

Traccia

\begin{cases}  x^2+y^2-(x+y)=4 \\ xy+2=0 \end{cases}

Svolgimento

Per risolvere questo sistema bisogna prima di tutto ricondurlo in una forma particolare ricordando che:

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy,

da cui avremo:

\begin{cases}  (x+y)^2-2xy -(x+y)-4=0 \\ xy=-2 \end{cases}

Sostituendo ora il valore di xy otteniamo:

\begin{cases}  (x+y)^2 -(x+y)=0 \\ xy=-2 \end{cases}

Si deduce banalmente che la prima è facilmente riconducibile ad un’equazione del tipo:

t^2-t=0 \Rightarrow t(t-1)=0

Quindi avremo:

\begin{cases}  x+y=0 \\ xy=-2 \end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases}  x+y=1 \\ xy=-2 \end{cases}

che ammetteranno le due equazioni:

z^2-2=0 \qquad \lor \qquad z^2-z-2=0

che daranno come soluzioni:

z_1= -\sqrt 2 \quad \lor \quad z_2= \sqrt 2 \quad la prima equazione e

z_3= -1 \quad \lor \quad z_4= 2 \quad la seconda equazione.

Le 4 coppie di soluzioni saranno:

(-\sqrt 2,\sqrt 2); (\sqrt 2,-\sqrt 2);(-1,2);(2,-1).

 

 

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