Integrazione di funzioni razionali fratte

Si consideri una funzione

y=\frac {N(x)}{D(x)}

razionale fratta, ovverio il quoziente di due polinomi N(x) di grado m e D(x) di grado n. Se m\geq n, si può effettuare la divisione tra il polinomio al numeratore N(x) e il polinomio a denominatore D(x), ricavando come quoziente un polinomio Q(x) di grado m-n e come resto un polinomio R(x) di grado r<m.

La funzione y=\frac {N(x)}{D(x)} si può quindi scrivere nella forma:

y= \frac {Q(x)D(x)+R(x)}{D(x)}=Q(x)+ \frac {R(x)}{D(x)}.

In tal caso, quindi, calcolare \int \frac {N(x)}{D(x)} \mathrm {d}x equivale a calcolare

\int [Q(x)+ \frac {R(x)}{D(x)}]\mathrm {d}x=\int Q(x)\mathrm {d}x + \int \frac {R(x)}{D(x)} \mathrm{d}x.

Il primo integrale \int Q(x)\mathrm {d}x è facilmente calcolabile poichè la funzione Q(x) è un polinomio, mentre il secondo integrale  \int \frac {R(x)}{D(x)} \mathrm{d}x richiede l’applicazione del criterio relativo all’integrazione delle funzioni razionali fratte, il cui numeratore è un polinomio di grado inferiore al grado del polinomio a denominatore.

A tal scopo vengono presentati i casi più significativi e ricorrenti:

a) il polinomio a denominatore è di primo grado o una sua potenza naturale.

  • \int \frac {c}{ax+b} \mathrm{d}x = \frac c a ln |ax+b| + k, con a,c \in R_0; b,k \in R;
  • \int \frac {c}{(ax+b)^n} \mathrm{d}x =c \int (ax+b)^{-n} \mathrm{d}x = \frac c a \frac {(ax+b)^{-n+1}}{-n+1}+k, con a,c \in R_0; b,k \in R; n\in N_0;

b) il polinomio a denominatore è di secondo grado, D(x)=ax^2+bx+c, a\in R_0, b,c \in R. L’integrale ha un’espressione del tipo.

\int \frac {px+q}{ax^2+bx+c} \mathrm{d}x, \, \, \, a\in R_0; b,c \in R; p, q non contemporaneamente nulli.

In tal caso occorre fare un’ulteriore distinzione, a seconda del discriminante \Delta del polinomio a denominatore:

  • \Delta>0
  • \Delta=0
  • \Delta<0

c) Il polinomio a denominatore è di grado superiore al secondo. In tal caso occorre fare un’ulteriore distinzione.

  • Il polinomio D(x) a denominatore, di grado n, con 2<n<m ammette n soluzioni reali e distinte, ovvero di molteplicità 1, x_1,x_2 ... , x_2, e quindi risulta scomponibile nella forma D(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n). La funzione integranda può essere decomposta nella somma di n frazioni elementari:

\frac {A_1}{x-x_1}+ \frac {A_2}{x-x_2} + ... + \frac {A_n}{x-x_n},

ove A_i sono costanti reali da determinare applicando il principio di identità dei polinomi, per cui il criterio per il calcolo dell’integrale è analogo a quello descritto nel caso \Delta>0.

  • Il polinomio D(x) a denominatore, di grado n, 2<n<m, ammette soluzioni reali anche di molteplicità maggiore di 1; ad esempio, risulta scomponibile nella forma D(x)=(x-x_1)^r(x-x_2)^s...(x-x_h)^p, dove r+s+...+p=n. La funzione integranda può essere decomposta nella somma di frazioni elementari:

\frac {A_1}{x-x_1}+ \frac {A_2}{(x-x_1)^2} + ... + \frac {A_r}{(x-x_1)^r}+\frac {B_1}{x-x_2}+ \frac {B_2}{(x-x_2)^2} + ... + \frac {B_s}{(x-x_2)^s}+...+ \frac {C_1}{x-x_h}+ \frac {C_2}{(x-x_h)^2} + ... + \frac {C_h}{(x-x_h)^p},

con A_i, B_i, ... C_i costanti reali da determinare applicando il principio di identità dei polinomi, e il criterio per il calcolo dell’integrale è una generalizzazione di quello descritto nel caso \Delta=0.

  • Il polinomio D(x) a denominatore, di grado n, 2<n<m, ammette, oltre a soluzioni reali, anche zeri complessi di molteplicità 1. In tal caso la funzione integranda può essere decomposta nella somma di frazioni in modo che il numeratore delle frazioni, con denominatore un polinomio di secondo grado a zeri complessi, sia un polinomio di primo grado. Il calcolo dei corrispondenti integrali segue i criteri precedentemente descritti.

 

 

 

 

 

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