Problema 1.1 Scientifico 2010

PROBLEMA 1
Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e \gamma la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza\lambda passante per C e tangente esternamente a \gamma.

 

 

Se AP = x, si provi che il raggio di \lambda in funzione di x è dato da f(x) = \frac {1-x}{1+x}.

 

Vedendo la figura richiesta dal testo, sia QC=r, così da avere:

    \[PB^2+BQ^2=PQ^2.\]

Sapendo che, questo è ovviamente un triangolo rettangolo e la distanza dei centri di due circonferenze tangenti esternamente è proprio la somma dei raggi, otteniamo:

    \[(1-x)^2+(1-r)^2=(x+r)^2\]

    \[1-2x+x^2+1-2r+r^2=x^2+2rx+r^2\]

Semplificando un po’ otteniamo:

    \[2rx+2r=2-2x\]

    \[r(1+x)=1-x\]

    \[r=\frac {1-x}{1+x}\]

con 0 \leq x \leq 1.

 
 

 

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