Problema 1.3 Scientifico 2010

PROBLEMA 1
Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e \gamma la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza\lambda passante per C e tangente esternamente a \gamma.

 

Sia g(x) =\left|\frac {1-x}{1+x} \right|, x \in R; quale è l’equazione della retta tangente al grafico di g(x) nel punto R (0, 1)? E nel punto S (1, 0)? Cosa si può dire della tangente al grafico di g(x) nel punto S ?

 

Avendo visto il grafico nel punto 2, per tracciare il grafico di g(x), basterà semplicemente “ribaltare” la parte di grafico ove le ordinate sono negative.

Calcoliamo ora l’equazione della retta tangente al grafico di g nei punti R ed S.

Per prima cosa, ci serve calcolare la derivata che ci darà i coefficienti angolari:

    \[g'(x)=-\frac {2}{(1+x)^2}.\]

Da cui:

g'(0)=-2.

Per quanto riguarda il punto S invece, essendo un punto angoloso, la funzione non è derivabile e quindi la tangente non esiste. Riusciamo però a calcolare le 2 tangenti (a destra e a sinistra del punto):

g'(1^{\pm})=\pm \frac 12.

Ora, imponendo l’uguaglianza su una generica retta y=mx+q, avremo:

r_R: 1=-2 \cdot 0 +q \Rightarrow q=1 \Rightarrow r_R: y=-2x+1

r_{S^+}: 0=\frac 12 \cdot 1 +q \Rightarrow q=-\frac 12 \Rightarrow r_{S^+}: y=\frac 12 (x-1)

r_{S^-}: 0=-\frac 12 \cdot 1 +q \Rightarrow q=\frac 12 \Rightarrow r_{S^-}: y=-\frac 12 (x-1)

 
 

 

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