Problema 1.1 Scientifico 2011

Si considerino le funzioni  f e g definite, per tutti gli x reali, da:

    \[f (x) = x^3 - 4x \quad \quad \mbox { e  } \quad \quad  g (x) = sen (\pi x).\]

 

Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy , si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G_f e G_g.

 

Studiamo le due funzioni separatamente:
f(x) = x^3 - 4x

Essendo una funzione razionale intera, sappiamo per certo che sarà definita per ogni x reale, quindi:

D= R

Analizziamo le possibili simmetrie:

f(−x) = − x^3 + 4x = − f(x),

quindi la funzione è dispari, ma questo lo si poteva capire da subito essendo una funzione polinomiale dove le incognite assumono solo esponenti dispari.

Le intersezioni con gli assi sono:

Asse y: \begin {cases} x=0 \\ y=0 \end { cases}

Asse x : \begin {cases} y=0 \\ x(x^2-4)=0 \end { cases} \iff  \begin {cases} y=0 \\ x=0 , x=\pm2 \end { cases}.

Quindi intersecherà gli assi coordinati in 3 punti:

o(0;0) , A(2;0) , B(-2;0).

Vediamo dove la funzione risulta essere positiva:

f(x) >0 \iff x(x^2-4) >0 \iff x(x+2)(x-2) >0 \iff -2<x<0 \quad \lor \quad x>2.

Studiamo i limiti agli estremi del dominio:

\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= \pm \infty.

Essendo una funzione polinomiale, questa non presenterà asintoti.

Analizziamo ora le derivate:

f'(x)=3x^2-4;

f' risulta essere positiva (e quindi f crescente) per x< -\frac {2}{\sqrt 3} e per x>\frac {2}{\sqrt 3}; risulta esser negativa (quindi f decrescente) per -\frac {2}{\sqrt 3}<x<\frac {2}{\sqrt 3}.

Avrà massimo in M\left ( -\frac {2}{\sqrt 3}; \frac {16}{3\sqrt 3}\right), e minimo in m\left (\frac {2}{\sqrt 3}; -\frac {16}{3\sqrt 3}\right).

La derivata seconda è:

f''(x)=6x

Questa risulta positiva per x>0 e negativa per x<0. L’origine risulterà essere punto di flesso.

L’altra funzione invece è semplicemente una funzione seno con una dilatazione.

 
 

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