Problema 1.2 Scientifico 2011

Si considerino le funzioni  f e g definite, per tutti gli x reali, da:

    \[f (x) = x^3 - 4x \quad \quad \mbox { e  } \quad \quad  g (x) = sen (\pi x).\]

 

 

Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G_f con la retta y = − 3. Successivamente, si considerino i punti di G_g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo [− 6; 6] e se ne indichino le coordinate.

 

    \[\begin{cases}y=x^3-4x \\ y=-3 \end{cases} \iff x^3-4x+3=0\]

.

Da qui notiamo che il polinomio si può scomporre con Ruffini, oppure usiamo un artificio:

x^3-4x+3=x^3-x-3x+3=x(x^2-1)-3(x-1)=x(x+1)(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x^2+x-3)

Quindi avremo:

(x-1)(x^2+x-3)=0, da cui ricaviamo i 3 punti di intersezione con la retta:

x_1=1

x^2+x-3=0

x_{\frac 23}=\frac {-1 \pm \sqrt {1+12}}{2}=\frac {-1 \pm \sqrt {13}}{2}.

Avremo:

    \[C(1;-3) \quad D(\left (\frac {-1-\sqrt {13}}{2};-3\right) \quad E(\left (\frac {-1+\sqrt {13}}{2};-3\right).\]

Per trovare tutti i punti di G_g a tangente orizzontale, basterà imporre che la derivata prima si annulli (la derivata prima calcolata nel punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al punto)…

    \[g'(x)=\pi cos (\pi x)=0 \iff \pi x = \frac {\pi}{2}+k \pi, \mbox { con } k \in Z \iff x=\frac 12+k.\]

Dato che viene richiesto di calcolarli per -6 \leq x \leq 6, avremo:

    \[\left ( \pm \frac 12 ; \pm 1\right ); \left ( \pm \frac 52 ; \pm 1\right ); \left ( \pm \frac 92 ; \pm 1\right );\]

    \[ \left ( \pm \frac 32 ; \mp 1\right );\left ( \pm \frac 72 ; \mp 1\right ); \left ( \pm \frac {11}{2} ; \mp 1\right )\]

 
 

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