Quesito 3 P.N.I. 2011

Sia R la regione delimitata, per x \in [0;\pi], dalla curva y = sen x e dall’asse x e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y. Si calcoli il volume di W.

 

Il volume sarà formato da dei gusci cilindrici con lo stesso asse, che hanno come circonferenza di base 2\pix e come altezza senx, con 0<x<\pi.

Avremo quindi:

    \[V=-\pi \int_0^{\pi}\left(2\pi x \right) senx dx = 2\pi \int_0^{\pi} xsenx dx.\]

Calcolando per parti otteniamo:

    \[=2\pi \int_0^{\pi} xsenx dx=2pi\left[-xcosx+senx\right]_0^{\pi}=2 \pi (\pi-0)=2 \pi^2.\]

 
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