Quesito 6 P.N.I. 2011

Di tutti i coni inscritti in una sfera di raggio 10 cm, qual è quello di superficie laterale massima?

Sia x l’altezza del cono e r il raggio della sfera, il raggio di base del cono è:

    \[\sqrt {r^-(x-r)^2}=\sqrt {2rx-x^2}.\]

L’apotema del cono, che può essere visto come un cateto del triangolo rettangolo che ha come ipotenusa il diametro della sfera passante per il vertice del cono, è dato, per il primo teorema di Euclide, da \sqrt {2rx}.

Ora, la superficie laterale del cono sarà:

    \[A=\pi \sqrt {2rx-x^2} \sqrt {2rx}=\pi\sqrt{2r(2rx^2-x^3)}.\]

Studiamo quindi il radicando per 0<x<2r.

Sia

    \[f(x)=2rx^2-x^3\]

,

la sua derivata prima sarà:

    \[f'(x)=4rx-3x^2\]

che si annulla per

    \[x=0 \quad \lor \quad x=\frac 43 r.\]

E’ facile capire quale sarà il massimo e il minimo (dato che sostituendo 0 il prodotto si annulla), e quindi il massimo si otterrà con x=\frac 43 r.

 
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