Problema 1.2 P.N.I. 2013

Una funzione f (x) è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in [0, + \infty [ e nella figura sono disegnati i grafici \Gamma e \Lambda di f (x) e della sua derivata seconda f ''(x) . La tangente a \Gamma nel suo punto di flesso, di coordinate (2; 4) , passa per (0; 0), mentre le rette y = 8 e y = 0 sono asintoti orizzontali per \Gamma e \Lambda,  rispettivamente.

 

 

Si supponga che f (x) costituisca, ovviamente in opportune unità di misura, il modello di crescita di un certo tipo di popolazione. Quali informazioni sulla sua evoluzione si possono dedurre dai grafici in figura e in particolare dal fatto che \Gamma presenta un asintoto orizzontale e un punto di flesso?

 

Osservando il grafico di f'(x), notiamo che questo si trova al di sopra dell’asse x (ossia f'(x) è una funzione positiva) e questo implica che f(x) è una funzione monotona crescente. Inoltre sappiamo che esiste un asintoto orizzontale, poichè il \lim_{x \to +\infty} f(x)=8: dunque, popssiamo affermare che f(x) è una funzione limitata.

Unendo le due considerazioni precedenti possiamo concludere che la curva f(x) rappresenta una popolazione in continua crescita, ma convergente verso un valore massimo.

La presenza del flesso F, invece ci da un’informazione sulla velocità di crescita della popolazione; nell’intervallo [0;2) \quad f''(x)>0 implica una crescita molto rapida, mentre nella restante parte del dominio, la derivata seconda negativa ci dice che la crescita della nostra popolazione è più lenta rispetto a quanto accadeva nel primo tratto.

 

22013

 

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