Problema 1.3 P.N.I. 2013

Una funzione f (x) è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in [0, + \infty [ e nella figura sono disegnati i grafici \Gamma e \Lambda di f (x) e della sua derivata seconda f ''(x) . La tangente a \Gamma nel suo punto di flesso, di coordinate (2; 4) , passa per (0; 0), mentre le rette y = 8 e y = 0 sono asintoti orizzontali per \Gamma e \Lambda,  rispettivamente.

 

 

Se \Gamma è il grafico della funzione f(x)=\frac {a}{1+e^{b-x}}, si provi che a = 8 e b = 2.

 

Cominciamo con il provare che a=8, utilizzando l’ipotesi per cui la nostra fuznione ha un asintoto orizzontale di equazione y=8. Infatti:

    \[ \lim_{x \to + \infty} \frac {a}{1+e^{b-x}}=a,\]

ma, poichè il risultato del limite appena calcolato deve essere uguale al valore dell’asintoto, possiamo facilmente concludere che a=8.

Per verificare il valore del parametro b, sfruttiamo il punto di flesso F; visto che questo è un punto di \Gamma, le sue coordinate devono verificare l’equazione di f(x), ossia

    \[f(2)=4 \quad \Rightarrow \quad \frac {8}{1-e^{b-2}}=4 \quad \Rightarrow \quad 2=1+e^{b-2} \quad \Rightarrow \quad 1=e^{b-2},\]

da cui si ottiene:

    \[e^0=e^{b-2} \quad \Rightarrow \quad 0=b-2 \quad \Rightarrow \quad b=2. \]

 

 

 

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