Problema 1.4 P.N.I. 2013

Una funzione f (x) è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in [0, + \infty [ e nella figura sono disegnati i grafici \Gamma e \Lambda di f (x) e della sua derivata seconda f ''(x) . La tangente a \Gamma nel suo punto di flesso, di coordinate (2; 4) , passa per (0; 0), mentre le rette y = 8 e y = 0 sono asintoti orizzontali per \Gamma e \Lambda,  rispettivamente.

 

 

Nell’ipotesi del punto 3), si calcoli l’area della regione di piano delimitata da \Lambda e dall’asse x sull’intervallo [0, 2].

 

Per calcolare l’area dobbiamo semplicemente fare il seguente integrale:

    \[\int_0^2 f''(x) dx.\]

Per la definizione di integrale vale la seguente relazione:

    \[\f''(x)dx=f'(x) \Rightarrow \int_0^2 f''(x) dx=f'(2)-f'(0).\]

Quindi, in questo caso, per calcolare l’area della regione non dobbiamo realmente integrare, ma, visto che conosciamo solamente l’equazione di f(x), dobbiamo derivare \Gamma per giungere a f'(x).

Riscrivendo f(x) in termini di potenza ad esponente negativo e sfruttando la regola di derivazione delle funzioni composte, si avrà:

    \[f(x)=8\left (1+e^{2-x}\right )^{-1} \quad \Rightarrow \quad $f'(x)=8 \left{-\left[\frac {-e^{2-x}}{\left(1+e^{2-x}\right)^2}\right]\right}  \quad \Rightarrow \quad f'(x)=\frac {8e^{2-x}}{\left(1+e^{2-x}\right)^2}.\]

Non resta che calcolarci f'(2) e f'(0); per quanto scoperto nel punto 1), f'(2)=2, quindi l’area della regione di piano studiata sarà:

 

    \[2-f'(0) = 2-\frac {8e^2}{(1+e^2)^2}=2\left[1-\frac{4e}{(1+e^2)^2}\right]=2\left[\frac {(1+e^2)^2-4e^2}{(1+e^2)^2}\right]=\]

    \[= 2\left[ \frac {e^4+1+2e^2-4e^2}{(1+e^2)^2}\right]=2\left[ \frac {e^4+1-2e^2}{(1+e^2)^2}\right]=2\frac {(1-e^2)^2}{(1+e^2)^2}=\]

    \[2\left (\frac {1-e^2}{1+e^2}\right)^2\simeq 1,16.\]

 

 

 

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