Problema 1.3 Scientifico 2013

La funzione f è definita da f(x)=\int_0^x [ cos(\frac t2 + \frac 12) ] dt per tutti i numeri reali x appartenenti
all’intervallo chiuso [0, 9].

  • Si trovi il valor medio di f '(x) sull’intervallo [0, 2\pi ].

Per il teorema della media integrale, il valor medio di f' è:

    \[f'_m=\frac {1}{2\pi-0}\int_0^{2\pi} [cos(\frac x2)+\frac 12] dx=\frac {1}{2\pi} [2sen(\frac x2)+\frac 12x]_0^{2\pi}=\]

    \[=\frac {1}{2\pi}[2sen(\frac {2\pi}{2})+\frac 12 \cdot 2 \pi - 2sen(\frac 02)-\frac 12 \cdot 0]=\frac {1}{2\pi}\pi=\frac 12\]

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