Problema 2.1 Scientifico 2014

A lato è disegnato il grafico \Gamma della funzione

    \[f(x)=x\sqrt{4-x^2}\]

graficoproblemascientifico22014
1. Si calcolino il massimo e il minimo assoluti di f(x) .

Risposta dello staff

Calcoliamo subito il dominio della funzione:

4-x^2 \geq 0 \iff -2\leq x \leq 2

il Dominio sarà quindi:

[-2;2].

Calcoliamo la derivata prima:

    \[f'(x)=\sqrt{4-x^2}+x\frac {-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\sqrt{4-x^2}-\frac {x^2}{\sqrt{4-x^2}}\]

Vedendo il grafico, notiamo subito che i punti di massimo e minimo sono interni al dominio e quindi, risolvendo l’equazione f'(x)=0, otteniamo:

\frac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}}=0

da cui:

2x^2=4 \iff x=\pm \sqrt 2

Essendo questi interni al dominio, allora questi saranno anche i massimi e minimi assoluti della funzione:

max \, f=f(\sqrt2)=2

 

min \, f=f(-\sqrt2)=-2

 

 

 

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