Problema 2.3 Scientifico 2014

A lato è disegnato il grafico \Gamma della funzione

    \[f(x)=x\sqrt{4-x^2}\]

graficoproblemascientifico22014

3. Si disegni la curva d’equazione y^2=x^2(4-x^2) e si calcoli l’area della parte di piano da essa racchiusa.

Risposta dello staff

Si nota subito come:

y= \pm x\sqrt{4-x^2}

e quindi, il grafico sarà dato dall’unione di \Gamma e dal suo simmetrico rispetto all’asse delle x, formando una specie di 8.

Per il calcolo dell’area, vista la simmetria, le quattro parti in cui è divisa la figura dagli assi, sono equivalenti.

Studiamo solo la parte del primo quadrante:

    \[\int_0^2 x \sqrt{4-x^2}\, dx\]

Sostituendo per comodità x^2=t, da cui 2x\, dx= dt, otteniamo:

    \[\int_0^4 \frac 12(4-t)^{\frac 12} \, dt= \left[-\frac 12 \cdot \frac {(4-t)^{\frac 32}}{\frac 32}\right]_0^4=\frac 83.\]

L’area totale sarà quindi \frac {32}{3}.

 

 

 

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